Trắc nghiệm Nguyên hàm lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

C

$\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$.

A

$I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + f'\left( x \right) + 1} \right]dx} = 2F\left( x \right) + f\left( x \right) + x + C$.

A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{x^3} - 9} \right)dx} = \frac{1}{2}{x^4} - 9x + C$.

C

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 3xdx} = - \frac{1}{3}\cos 3x + C$.

B

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2} \right)dx = {e^x} + 2x + C}$.

D

Có $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {e^x} + 4x$$\Rightarrow f\left( {2x} \right) = {e^{2x}} + 8x$.

Do đó $\int {f\left( {2x} \right)dx} = \int {\left( {{e^{2x}} + 8x} \right)dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + 4{x^2} + C$.

Chọn D

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{2^x} + \cos 3x} \right)dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{1}{3}\sin 3x + C$.

Chọn A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{2\sqrt {2x + 1} }}dx} = \frac{1}{4}\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^{\frac{{ - 1}}{2}}}d\left( {2x + 1} \right) = \frac{1}{2}} \sqrt {2x + 1} + C$.

Chọn D

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} = 2\sqrt x + C$.

Vì $F\left( 1 \right) = 1$ nên $2\sqrt 1 + C = 1 \Rightarrow C = - 1$.

Do đó $F\left( x \right) = 2\sqrt x - 1$. Do đó $F\left( 4 \right) = 2\sqrt 4 - 1 = 3$.

Chọn A

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{{x^2} - 2025}}dx = \frac{1}{{90}}\int {\left( {\frac{1}{{x - 45}} - \frac{1}{{x + 45}}} \right)dx} }$$= \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| + C$.

Mà $f\left( {25} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}$.

Khi đó $f\left( x \right) = \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}$.

Do đó $f\left( { - 50} \right) = \frac{1}{{90}}\ln 19 - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} = \frac{1}{{90}}\ln \frac{{133}}{2} \approx 0{,}047 \in \left( {0;1} \right)$.

Chọn C

Ta có $f\left( x \right) = {\left( {x\sin x + C} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

a) Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx = 2x + 2\ln \left| x \right| + C}$.

b) Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)dx} = 2x + \ln \left| x \right| + C$.

Suy ra $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C$.

Mà $F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2$$\Rightarrow F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| - 2$.

Vậy $F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2$.

c) Ta có $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}$.

$\int {f\left( {2x} \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}$.

Mà $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C$.

Vậy $F\left( {2x} \right)$ không phải là một nguyên hàm của hàm số $f\left( {2x} \right)$.

d) Hàm số $f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}$ $\Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)} dx = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx} = 2x - {e^{ - x}} + C$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}} = 2 + \frac{3}{{x - 1}}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{3}{{x - 1}}} \right)dx} = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C$.

c) Theo câu b, $F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C$ mà $F\left( 2 \right) = 1$ $\Rightarrow F\left( 2 \right) = 2.2 + 3\ln \left| {2 - 1} \right| + C = 1 \Rightarrow C = - 3$.

Do đó $F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3$.

d) $F\left( x \right) = 2x + 2$$\Leftrightarrow 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3 = 2x + 2$$\Leftrightarrow \ln \left| {x - 1} \right| = \frac{5}{3}$$\Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = {e^{\frac{5}{3}}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + {e^{\frac{5}{3}}}\\x = 1 - {e^{\frac{5}{3}}}\end{array} \right.$.

Suy ra $T = {x_1} + {x_2} = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có ${\left( { - 2\sin x + C} \right)^\prime } = - 4\cos x \ne 4{\cos ^2}\frac{x}{2}$ nên hàm số $F\left( x \right) = - 2\sin x$ không phải là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ đã cho.

b) Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {4.\frac{{1 + \cos x}}{2}dx} = 2\int {\left( {1 + \cos x} \right)dx} = 2\left( {x + \sin x} \right) + C$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 4$.

c) Theo câu b, $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C$.

Vì $F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$.

Vậy $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1$.

d) Theo câu b, $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + C$.

Vì $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ nên $2\left( {\frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 \Rightarrow C = - \pi - 2$.

Vậy ta có $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin } \right) - \pi - 2$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Do $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}$ nên $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1$.

b) $y' = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 = f\left( x \right)$.

c) Do $y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nên $F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + C$.

d) Có $F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1$.

Suy ra $F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( { - 10t + 30dt} \right) = - 5{t^2} + 30t + C}$.

Do $s\left( 0 \right) = 0$ nên C = 0.

Vậy $s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t$ (m).

b) Xe ô tô dừng hẳn khi $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là

$s\left( 3 \right) = - {5.3^2} + 30.3 = 45$ m.

d) Ta có 72 km/h = 20 m/s.

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 + 45 = 65 (m).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Theo đề ta có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Ta có $F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right).\frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}$$= \frac{{\left( {2ax + b} \right).\left( {2x - 3} \right) + \left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}$

$= \frac{{5a{x^2} + \left( { - 6a + 3b} \right)x + \left( { - 3b + c} \right)}}{{\sqrt {2x - 3} }}$.

Vì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\ - 6a + 3b = - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P = - 8$.

Trả lời: −8.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + C$.

Mà $f\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow C = - 3$. Do đó $f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3$.

Lại có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2$. Do đó $F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2$.

Vậy $F\left( 1 \right) = {1^4} + {1^2} - 3.1 + 2 = 1$.

Trả lời: 1.

Vì $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ nên $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow F'\left( {25} \right) = {25^2} = 625$.

Trả lời: 625.

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C$.

Vì vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s nên $v\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow C = 2$.

Suy ra $v\left( t \right) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2$.

Vậy $v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{1}{2}{.2^2} + 2 = 12$ m/s.

Trả lời: 12.

Ta có $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 1;g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{x}{2}$.

Ta có $H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{2}dx} = \frac{{{x^2}}}{4} + C$.

Vì $H\left( 4 \right) = 4$ nên $C = 0$. Do đó $H\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}$.

Suy ra $H\left( 1 \right) = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Trả lời: 0,25.