Trắc nghiệm Nguyên hàm lớp 12 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: C

Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $K$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right),$$\forall x \in K$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $I = \int {\left[ {2g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx}$

$$I = \int {2g\left( x \right)dx} - \int {f\left( x \right)dx}$$

$$I = 2\int {g\left( x \right)dx} - \int {f\left( x \right)dx}$$

$$I = 2G\left( x \right) - F\left( x \right)$$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int {{x^5}dx} = \frac{{{x^6}}}{6} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {\cos xdx = \sin x + C.}$

Đáp án đúng là: B

Ta có công thức $\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C}$.

Do đó $\int {\cos 3xdx = \frac{{\sin 3x}}{3} + C.}$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx$

$$= \int {{x^2}dx - \int {3xdx + \int {\frac{1}{x}dx} } }$$

$$= \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.$$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {\left( {2\sin x - 3\cos x + 1} \right)^\prime }$$= 2\cos x + 3\sin x.$

Vậy $F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)dx}$

$$= \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}}} \right)dx}$$

$$= \int {{e^{3x}}dx} - 3\int {{e^{ - 2x}}dx}$$

$= \frac{{{e^{3x}}}}{3} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {x + \sin x} \right)dx} }$$= \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + C.$

Mà $f\left( 0 \right) = 1$ nên $\frac{{{0^2}}}{2} - \cos 0 + C = 1$ hay C = 2.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx}$ $= {e^x} + {x^2} + C.$

Mà $F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}$ nên ${e^0} + {0^2} + C = \frac{3}{2}$.

Suy ra $C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

Do đó $F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.$

Có: $F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = e + 1 + \frac{1}{2} + {e^2} + 4 + \frac{1}{2}$$= {e^2} + e + 6.$

Vậy $F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = {e^2} + e + 6.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}} \right)} dx$

$$= \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} - \int {{x^2}dx} - \int {\frac{1}{3}dx}$$

$$= - \frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}x + C$$

$$= - \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C$$

Đáp án đúng là: A

Xét các đáp án, ta có:

(I): $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3x + \frac{1}{x}} \right)} dx$$= \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.$

Vậy $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.$

Mệnh đề (I) là mệnh đề đúng.

(II): $\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\left( {5x + 3} \right)}^5}dx}$$= \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C$

Vậy $F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{{30}} + C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.

Mệnh đề (II) là mệnh đề sai.

(III). Ta có: $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C} \right)^\prime }$

$$= {\left( {\frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{3}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{4}{x^{\frac{5}{4}}} + C} \right)^\prime }$$

$$= \frac{9}{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{16}}{9}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{{25}}{{16}}{x^{\frac{1}{4}}}$$

$= \frac{9}{4}\sqrt x + \frac{{16}}{9}\sqrt[3]{x} + \frac{{25}}{{16}}\sqrt[4]{x}$.

Vậy mệnh đề (III) là sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} }$$= {x^2} + {e^x} + C.$

Mà $F\left( 0 \right) = 2024$ nên ${0^2} + {e^0} + C = 2024$ hay C = 2023.

Vậy $F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx$

$$= \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx$$

$$= \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx$$

$$= \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx$$

$$= \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.$$

Mà $F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}$ nên $\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}$ hay C = 8.

Suy ra $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.$

Do đó, $F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình vận tốc của vật là $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} dt = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3}{\rm{ + }}\frac{{{t^2}}}{2}{\rm{ + C}}{\rm{. }}$

Mà vận tốc ban đầu của vật là $2{\rm{ }}\left( {m/s} \right)$ hay $v\left( 0 \right) = 2{\rm{ }}\left( {m/s} \right)$.

Do đó, ta có C = 2.

Suy ra $v\left( t \right) = {t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + 2.$

Vậy vận tốc của vật đó sau 2 giây là: $v\left( 2 \right) = {2^3} + \frac{{{2^2}}}{2} + 2 = 12{\rm{ }}\left( {m/s} \right)$

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình độ cao của viên đạn là:

$$h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {25 - 9{,}8t} \right)} dt = 25t - 4{,}9{t^2} + C.$$

Do coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên trên nên C = 0.

Suy ra $h\left( t \right) = 25t - 4{,}9{t^2} = - 4{,}9{\left( {t - \frac{{125}}{{49}}} \right)^2} + \frac{{3125}}{{98}}$.

Nhận thấy $- 4{,}9{\left( {t - \frac{{125}}{{49}}} \right)^2} + \frac{{3125}}{{98}} \le \frac{{3125}}{{98}}$ do đó, độ cao của viên đạn đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{{3125}}{{98}}$ khi $t = \frac{{125}}{{49}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: Phương trình biểu diễn quãng đường của vật là $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)dt}$

Suy ra $s\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + t.$

a) Quãng đường vật đi được sau 2 giây là $s\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - {2^2} + 2 = \frac{2}{3}$ (m).

Do đó, ý a đúng.

b) Ta có phương trình gia tốc là $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 2t - 2$.

Thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là $a\left( t \right) = 0$ hay $t = 1.$

Quãng đường đi được của vật khi gia tốc bị triệt tiêu là $s\left( 1 \right) = \frac{{{1^3}}}{3} - {1^2} + 1 = \frac{1}{3}$ (m).

Do đó, ý b đúng.

c) Thời điểm vận tốc đạt 9 m/s là nghiệm dương của phương trình ${t^2} - 2t + 1 = 9$.

Giải phương trình ta được $t = 4$ và $t = - 2$ (loại do $t > 0$).

Suy ra quãng đường vật đi được sau 4 giây là $s\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} - {4^2} + 4 = \frac{{28}}{3}$ (m).

Có $s\left( 2 \right) = \frac{2}{3}$ (m) nên Quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến thời điểm $t = 4$ là $s\left( 4 \right) - s\left( 2 \right) = \frac{{26}}{3}$.

Do đó, ý c đúng.

d) Thời điểm gia tốc bằng ${\rm{10 }}\left( {m/{s^2}} \right)$ là $a\left( t \right) = 2t - 2 = 10$ hay t = 6 giây.

Vậy quãng đường vật đi được sau 6 giây là $s\left( 6 \right) = \frac{{{6^3}}}{3} - {6^2} + 6 = 42$ (m).

Vậy ý d sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình biểu diễn quãng đường của ô tô là

$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {19 - 2t} \right)dt = 19t - {t^2} + C}$ (m).

Ta có: $s\left( 0 \right) = 0$ nên C = 0.

Suy ra $s\left( t \right) = 19t - {t^2}$.

Vậy sau 5 giây kể từ khi hãm phanh tức t = 5, quãng đường ô tô đi được là

$s\left( 5 \right) = 19.5 - {5^2} = 70$m.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = 6{x^2} + 2x + C.}$

Mà $f\left( 1 \right) = 3$nên ${6.1^2} + 2.1 + C = 3$ hay C = −5.

Suy ra $f\left( x \right) = 6{x^2} + 2x - 5.$

Lại có, $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = 2{x^3} + {x^2} - 5x + {C_1}}$.

Mà $F\left( 0 \right) = 2$ nên ${C_1} = 2$.

Suy ra $F\left( x \right) = 2{x^3} + {x^2} - 5x + 2$.

Vậy $F\left( 1 \right) = 0$.