Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$. Suy ra loại A.

Lại có đồ thị hàm số y = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2 đi qua điểm (0; 2) và (2; −2). Chọn D.

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

Khi đó $\frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 1$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 0) nên $a.2 + b = 0$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; −2) nên $- b = - 2 \Rightarrow b = 2$. Do đó a = −1.

Vậy a + b + c = 2.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$. Loại C.

Lại có đồ thì hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Loại A.

Hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu.

Xét đáp án D. Có y' = 3x2 – 3 = 0 Û x = 1 hoặc x = −1.

Do đó hàm số này có 2 điểm cực trị trái dấu. Chọn D.

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

x = −2 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y = 1 làm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{b} = - 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2b\\a = b\end{array} \right.$.

Lại có $y' = \frac{{ - ac + 6b}}{{{{\left( {bx - c} \right)}^2}}} < 0$$\Leftrightarrow - ac + 6b < 0$$\Leftrightarrow 2{b^2} + 6b < 0$$\Leftrightarrow - 3 < b < 0$.

Suy ra b < 0; a < 0; c > 0.

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số nhận x = 2 làm tiệm cận đứng và y = x + 1 làm tiệm cận xiên.

Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0$ nên y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn C

Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Suy ra d > 0.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \Rightarrow a < 0$

Ta có y' = 3ax2 + 2bx + c.

Điểm cực đại và cực tiểu của hàm số đều âm nên $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{2b}}{{3a}} < 0\\\frac{c}{{3a}} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 0\\c < 0\end{array} \right.$ (vì a < 0).

Do đó có 1 số dương.

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có

+) x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét đáp án D.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} = + \infty$.

Do đó x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} = - 1$.

Do đó y = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

Chọn D

Thay x = 0 vào hàm số ta được y = −2.

Vậy đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −2.

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt.

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình f(x) = 2m + 1 có ba nghiệm phân biệt thì

−1 < 2m + 1 < 3 $\Leftrightarrow$ −1 < m < 1.

Mà m $\in$ ℤ nên m = 0.

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).

b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

c) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0; 2) và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (2; −2).

Đường thẳng y = −2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

d) x$^{3}$ – 3x$^{2}$ – 2(m – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2 = 2m.

Để phương trình x3 – 3x2 – 2(m – 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2 tại 3 điểm phân biệt.

Dựa vào đồ thị ta có −2 < 2m < 2 $\Leftrightarrow$ −1 < m < 1.

Mà m $\in$ ℤ nên m = 0.

Do đó có 1 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Hàm số y = f(x) có điểm cực tiểu là x = 2, điểm cực đại là x = 0.

Ta có f'(x) = 3x$^{2}$ + 2ax + b.

Vì 0, 2 là hai nghiệm của phương trình f'(x) = 0 nên b = 0; a = −3.

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0; 2) nên c = 2.

Suy ra f(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Ta có y' = 3x2 – 6x; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số đã cho là

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Đồ thị hàm số đã cho là

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a Đúng

Tập xác định D = ℝ\{1}.

Có

$y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}$.

b) Ta có y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2 hoặc x = −2.

Có y' < 0 $\Leftrightarrow$ x $\in$ (−2; 0) $\cup$ (0; 2).

Có y' > 0 $\Leftrightarrow$x $\in$ (−∞; −2) $\cup$ (2; +∞).

c) Ta có bảng biến thiên

d) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x + \frac{4}{x}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + \frac{4}{x}} \right) = - \infty$. Do đó x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{x} = 0$.

Do đó y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (−2; −4); (2; 4).

Ta có đồ thị hàm số

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có: $y = ax + 2 + \frac{b}{{x + c}}$.

Nên đồ thị của hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = ax + 2$, mà như hình vẽ đường tiệm cận xiên đi qua điểm $\left( {1;1} \right)$ suy ra $1 = a.1 + 2 \Leftrightarrow a = - 1$.

Đồ thị của hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ nên $1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 1$.

Khi đó hàm số đã cho có dạng $y = - x + 2 + \frac{b}{{x - 1}}$.

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;3} \right)$ nên $- 0 + 2 + \frac{b}{{0 - 1}} = 3 \Leftrightarrow 2 - b = 3 \Leftrightarrow b = - 1$.

Vậy $P = a + b + c = - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 3.$

Trả lời: −3.

Dựa vào đồ thị ta có $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\,\,\,\,\left( { - 1 < a < 0} \right)\\f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) = b\,\,\,\,\left( {2 < b < 3} \right)\end{array} \right.$ .

Phương trình $f\left( x \right) = a$ với $- 1 < a < 0$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $f\left( x \right) = 1$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $f\left( x \right) = b$ với $2 < b < 3$ có một nghiệm .

Vậy phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ có $7$ nghiệm thực phân biệt.

Trả lời: 7.

Ta có $f\left( x \right) = 5x - 1 + \frac{8}{{x - 1}}$ nên đồ thị hàm số nhận hai đường thẳng x = 1 và y = 5x – 1 tương ứng là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Suy ra a = 1; b = 4 Þ a + 3b = 1 + 3.4 = 13.

Trả lời: 13.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ax - 2}}{{bx + c}} = \frac{a}{b} = 2 \Rightarrow a = 2b$.

Tiệm cận đứng của hàm số là x = 3 nên $\frac{{ - c}}{b} = 3$ hay c = −3b.

Ta có T = 2a + b – 3c = 4b + b + 9b = 14b.

Mặt khác hàm số đã cho có f'(x) > 0 $\Rightarrow$ ac + 2b > 0$\Rightarrow$ 2b.(−3b) + 2b > 0 $\Leftrightarrow$ 2b(−3b + 1) > 0

$\Leftrightarrow 0 < b < \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 0 < 14b < \frac{{14}}{3}$$\Rightarrow 0 < T < \frac{{14}}{3}$.

Do T nguyên nên T $\in$ {1; 2; 3; 4}.

Trả lời: 4.

Ta có y' = 3ax2 + 2bx + c.

Theo đề ta có y'(1) = 0 $\Leftrightarrow$ 3a + 2b + c = 0.

Trả lời: 0.