Trắc nghiệm Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {3;4;1} \right)$ lên trục $Ox$ có tọa độ là $\left( {3;0;0} \right).$

Đáp án đúng là: A

Tọa độ của $\overrightarrow u$ là $\left( {2;1; - 1} \right).$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = $\left( {1 - 2;1 - \left( { - 1} \right); - 3 - 0} \right) = \left( { - 1;2; - 3} \right).$

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {2;3; - 1} \right)$ trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có tọa độ $\left( {2;0; - 1} \right).$

Đáp án đúng là: A

Điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oz$ có tọa độ là $\left( {1;2; - 3} \right).$

Đáp án đúng là: D

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$, $\overrightarrow {DC} = \left( {x - 2;y - 3;z} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 2 = x - 2\\ - 1 = y - 3\\ - 1 = z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\\z = - 1.\end{array} \right.$

Vậy tọa độ đỉnh $D$ là $\left( {0;2; - 1} \right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow v = 2\overrightarrow i + a\overrightarrow j + 6\overrightarrow k = \left( {2;a;6} \right)$.

Để $\overrightarrow u = 2\overrightarrow v$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{1}{2}.2\\2 = \frac{1}{2}a\\3 = \frac{1}{2}.6\end{array} \right. \Rightarrow a = 4$

Đáp án đúng là: A

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có $I$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {ID}$.

Ta có: $\overrightarrow {BI} = \left( {x - 3;y - 1;z} \right)$, $\overrightarrow {ID} = \left( { - x;4 - y; - 6 - z} \right)$.

Suy ra, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = - x\\y - 1 = 4 - y\\z = - 6 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\\z = - 3\end{array} \right.$ ⇒ $I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}; - 3} \right).$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 7\overrightarrow k \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {3;5; - 7} \right) \Rightarrow M\left( {3;5; - 7} \right).$

Tọa độ của điểm đối xứng $M'$ của $M$ qua mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $M'\left( {3; - 5; - 7} \right).$

Đáp án đúng là: D

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 4 - 2\\4 - y = 0 - 4\\ - 7 - z = 0 - 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\\x = - 7\end{array} \right.$ ⇒ $D\left( { - 3;8;7} \right)$.

Gọi $B'\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$, có $\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {BB'}$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 4 = 6 - \left( { - 3} \right)\\{y_1} - 0 = 8 - 8\\{z_1} - 0 = 10 - \left( { - 7} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 13\\{y_1} = 0\\{z_1} = 17\end{array} \right.$ ⇒ $B'\left( {13;0;17} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $B\left( {x;y;z} \right)$, ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {x - 4;y - 6;z + 3} \right)$.

Theo đề, để $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = - 3\\y - 6 = 2\\z + 3 = 1\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\\z = - 2\end{array} \right.$ ⇒ $B\left( {1;8; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là điểm $\left( {8;0;0} \right)$ nên a sai.

Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$ là điểm $\left( {0;0;3} \right)$ nên b đúng.

Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oxz$ là điểm $\left( {8;0;3} \right)$ nên c đúng.

Ta có: $\overrightarrow {OM} = \left( {8;4;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$ nên d đúng.

Vậy có 3 mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;5} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {x - 1;y;5} \right)$.

Theo đề, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y = - 2\\5 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.$.

Do đó $x + y = 1.$

Đáp án đúng là: B

Có $A'$ đối xứng với điểm $A$ qua điểm $B$ nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA'}$.

Gọi $A'\left( {x;y;z} \right)$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 2 = x + 1\\2 - 1 = y - 2\\1 - 1 = z - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 3\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy $A'\left( { - 4;3;1} \right).$

Đáp án đúng là: C

$H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ nên tọa độ của $H$ là $H\left( {1;2;0} \right)$.

Tọa độ điểm $H'$ đối xứng với $H$ qua mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $H'\left( {1; - 2;0} \right).$

Đáp án đúng là: C

Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)$, $\overrightarrow {MB} = \left( {5 - a; - 1 - b;2 - c} \right)$, $\overrightarrow {MC} = \left( {3 - a;2 - b; - 4 - c} \right)$.

Theo đề để $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}1 - a + 2\left( {5 - a} \right) - \left( {3 - a} \right) = 0\\1 - b + 2\left( { - 1 - b} \right) - \left( {2 - b} \right) = 0\\1 - c + 2\left( {2 - c} \right) - \left( { - 4 - c} \right) = 0\end{array} \right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - \frac{3}{2}\\c = \frac{9}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {4; - \frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right).$

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài, có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ nên $A\left( {0;0;0} \right)$;

điểm $B$ nằm trên tia $Ox$ nên $B\left( {x;0;0} \right)$;

điểm $D$ nằm trên tia $Oy$ nên $D\left( {0;y;0} \right)$;

điểm $A'$ nằm trên tia $Oz$ nên $A'\left( {0;0;z} \right)$.

Theo đề, có $AB = 2,AD = 4,AA' = 3$ hay $B\left( {2;0;0} \right),D\left( {0;4;0} \right),A'\left( {0;0;3} \right).$

Ta có $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Gọi $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 0 = 2\\{y_C} - 4 = 0\\{z_C} - 0 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 4\\{z_C} = 0\end{array} \right.$ ⇒ $C\left( {2;4;0} \right)$.

Lại có, $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'}$, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 4 = 0\\c - 0 = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\\c = 3\end{array} \right.$.

Vậy $a + b - c = 2 + 4 - 3 = 3$.

Đáp án đúng là: C

Từ quan sát hình vẽ và đề bài, ta có trung điểm $AB$ là điểm $O$ cũng chính là gốc tọa độ.

Quan sát hình, ta có: $A\left( {0; - \frac{1}{2};0} \right),B\left( {1; - \frac{1}{2};0} \right)$ nên ý a đúng.

$C\left( {1;\frac{1}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{1}{2};0} \right)$ nên ý b đúng.

Có tam giác $SAD$ đều nên đường cao $SO = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Mà $S$ thuộc trục $Oz$ nên $S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$, do đó ý c đúng.

Tọa độ các điểm $M,N$ là $M\left( {1;0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)$ nên ý d đúng.

Vậy có 4 mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: C

Xét hệ trục $Oxyz$ như sau, điểm $O$ là gốc tọa độ $OA \equiv Oz,OB \equiv Ox,OC \equiv Oy$.

Khi $a = 1$, ta có $O\left( {0;0;0} \right)$; $A\left( {0;0;2} \right),B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;\sqrt 2 ;0} \right).$

Lúc này, $\overrightarrow {AB} = \left( {2;0; - 2} \right)$ nên $m = 2,n = 0,p = - 2$.

Vậy $T = m + n + p = 0.$

Đáp án đúng là: D

Ta có tam giác $OMH$ vuông tại $H$ có $OM = 50,\widehat {OMH} = 48^\circ$ nên ta có:

$OH = OM.\cos 48^\circ \approx 33{,}5$; $OC = MH = OM.\sin 48^\circ \approx 37{,}2.$

Tam giác $OAH$ vuông tại $A$, $OH = 33{,}5;\widehat {OAH} = 64^\circ$ nên ta có:

$OA = OH.\cos 64^\circ \approx 14{,}7$; $OB = AH = OH.\cos 64^\circ \approx 30{,}1.$

Có: $C\left( {0;0;37{,}2} \right);H\left( {30{,}1;14{,}7;0} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {HM}$ với $M\left( {x;y;z} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x - 30{,}1 = 0\\y - 14{,}7 = 0\\z - 37{,}2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30{,}1\\y = 14{,}7\\z = 37{,}2\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {14{,}7;30{,}1;37{,}2} \right).$