Trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: $p = \frac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15$

Diện tích của tam giác là:

$S = \sqrt {p\left( {p - 5} \right)\left( {p - 12} \right)\left( {p - 13} \right)} = \sqrt {15\left( {15 - 5} \right)\left( {15 - 12} \right)\left( {15 - 13} \right)} = 30$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$

$\Leftrightarrow \cos B = \frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{6^2} + {3^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.6.3}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat B = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b} = \frac{{\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{\sin (180^\circ - 75^\circ - 45^\circ )}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow AC = b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{3.\sin {{30}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có góc A = 180° – 135° = 45°

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{a}{{2\sin 45^\circ }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Côsin tại đỉnh A ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc.cosA

$\Rightarrow$a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc.cos120° = b$^{2}$ + c$^{2}$ + bc

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm số sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} = 2R$

Suy ra:

+ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} \Rightarrow a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}$. Do đó đáp án A đúng.

+ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin A}}{a}$. Do đó đáp án B đúng.

+ $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R.\sin A$.Do đó đáp án C đúng.

+ $\frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = 2R \Rightarrow \frac{b}{2} = R\sin B \Rightarrow \frac{b}{{2{\mathop{\rm cosB}\nolimits} }} = R\tan B$. Do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức : $S = \frac{1}{2}.bc.\sin A$$= \frac{1}{2}.10.20.\sin 60^\circ$$= 50\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\sqrt 6 }^2} + {{(\sqrt 3 + 1)}^2} - {2^2}}}{{2.\sqrt 6 .(\sqrt 3 + 1)}}$$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow$$\widehat A$ = 45°.

Do đó : $R = \frac{a}{{2\sin A}}$$= \frac{2}{{2.\sin 45^\circ }}$$= \sqrt 2$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 8$(cm).

Diện tích tam giác ABC là:$S = \frac{1}{2}AB.AC = 24\left( {c{m^2}} \right)$

Nửa chu vi $p = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12$ (cm)

Suy ra $r = \frac{S}{p} = \frac{{24}}{{12}} = 2$(cm).

Đáp án đúng là: C

Gọi BH là đường cao của hình bình hành ABCD.

Tam giác BAH vuông tại H, góc $\widehat {BAH} = \widehat {BAD} = 45^\circ$,

Ta có BH = AB.sin45° = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Diện tích hình bình hành ABCD là: $S = BH.AD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = {a^2}$(đvdt).

Đáp án đúng là: B

Ta có: a(a$^{2}$ – c$^{2}$) = b(b$^{2}$ – c$^{2}$)

⇔ a$^{3}$ – b$^{3}$ – c$^{2}$(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) – c$^{2}$(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$– c$^{2}$) = 0

⇔ a$^{2}$ + ab + b$^{2}$– c$^{2}$ = 0 (Vì a ≠ b nên a – b ≠ 0)

⇔ a$^{2}$ + b$^{2}$– c$^{2}$ = – ab

Ta có $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{ - ab}}{{2ab}}$$= - \frac{1}{2}$.

Do đó: $\widehat C$ = 120°.

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC ta luôn có: c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – 2ab.cosC.

Hệ thức (a + b + c)(a + b – c) = 3ab

⇔ (a + b)$^{2}$ – c$^{2}$ = 3ab

⇔ c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ – ab

Suy ra: – 2.cosC = – 1 $\Rightarrow \cos C = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat C = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$

$\Rightarrow \cos \left( {B + C} \right) = \cos \left( {180^\circ - A} \right) = - cosA = - \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \cos A = \frac{1}{5}$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác, ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} } = \sqrt {{7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{1}{5}} = 2\sqrt {15}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi hình bình hành là ABCD, AD = 3, AB = 5

Gọi α là góc đối diện với đường chéo có độ dài 5

Ta có: $\cos \alpha = \frac{{{3^2} + {5^2} - {5^2}}}{{2.3.5}} = \frac{3}{{10}}$

⇒ α là góc nhọn

⇒$\alpha = \widehat {ADC}$

⇒ AC = 5

⇒$B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2.AD.AB.\cos \widehat {BAD} = A{D^2} + A{B^2} + 2.AD.AB.\cos \widehat {ADC}$

(vì $\widehat {BAD}$ và $\widehat {ADC}$ bù nhau$\Rightarrow \cos \widehat {BAD} = - \cos \widehat {ADC}$)

⇒ BD$^{2}$ = 3$^{2}$ + 5$^{2}$ + 2.3.5.$\frac{3}{{10}}$ = 43

⇒ BD = $\sqrt {43}$.