Trắc nghiệm Hàm số liên tục lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

C

Theo định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$.

Chọn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$.

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)$$= 4$;

Mà $f\left( 2 \right) = 4$$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$.

A

Ta có: $y\left( 1 \right) = 1$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 3$.

Nhận thấy: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y\left( 1 \right)$. Suy ra $y$ liên tục phải tại $x = 1$.

B

Ta có $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ không xác định tại ${x_0} = - 1$ nên gián đoạn tại ${x_0} = - 1$.

D

Hàm số liên tục tại x = 2 $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$. Suy ra f(2) = 4.

D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2{x^2} - x + 2} \right) = 3\end{array} \right.$.

Vậy hàm số có giới hạn tại x = 1 nhưng không liên tục tại x = 1.

B

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ làm hàm phân thức hữu tỉ và có tập xác định là D = ℝ.

Do đó hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ liên tục trên ℝ.

A

Hàm số $y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}$ có tập xác định $R\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}$.

Do đó hàm số không liên tục tại các điểm x = ±1.

B

Với x > 2, ta có f(x) = −x$^{2}$ + x + 3 là hàm đa thức.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (2; +∞).

Với x < 2, ta có f(x) = 5x + 2 là hàm đa thức.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 2).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - {x^2} + x + 3} \right) = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {5x + 2} \right) = 12$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$. Do đó hàm số gián đoạn tại x = 2.

A

Đặt f(x) = 3x$^{5}$ + 5x$^{3}$ + 10.

Vì f(x) liên tục trên ℝ nên f(x) liên tục trên [−2; −1] (1).

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 126\\f\left( { - 1} \right) = 2\end{array} \right.$. Suy ra f(−2).f(−1) = −126.2 = −252 < 0 (2).

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng (−2; −1).

a) Ta có: $g(2) = \frac{2}{{2 - 1}} = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{x - 1}} = 2$; suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)$.

Vậy hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

b) Ta có: $f(2) = 4{,}5$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

c) Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2)$.

Vậy hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

d) Có $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$không liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( 1 \right){\rm{. }}$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

c) Ta có: $g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

d) Hàm số số $y = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Hàm số f(x) xác định trên ℝ.

b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 90$.

c) Ta có f(20) = 65.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \left( {x + 45} \right) = 65 = f\left( {20} \right)$ nên f(x) liên tục tại x = 20.

d) Với x ≠ 45 thì $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}}$ hàm số xác định trên khoảng (−∞; 45) và (45; +∞).

Suy ra hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; 45) và (45; +∞).

Do đó hàm số liên tục trên ℝ khi hàm số liên tục tại x = 45 $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = f\left( {45} \right)$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = 2m + 4$Û 90 = 2m + 4 Û m = 43.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Tập xác định ℝ\{±2}.

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng (−∞; −2); (−2; 2) và (2; +∞).

Do đó hàm số f(x) liên tục trên khoảng (3; +∞).

b) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = −2.

c) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra a = 3; b = 4. Do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ = 25.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = + \infty$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0$ mà x – 1 > 0 khi x → 1$^{+}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3$.

c) Tập xác định D = ℝ\{1}. Do đó hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x$_{0}$ = 1.

d) Hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f(4) = 2a + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 21$.

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 4$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = f(4)$.

$\Rightarrow 2a + 1 = 21 \Leftrightarrow a = 10$.

Trả lời: 10.

Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

Mà f(1) = n là số hữu hạn, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ hữu hạn nên x = 1 là nghiệm của x$^{3}$ + 8x + m = 0

$\Rightarrow$ m = −9.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + 8x - 9}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 9} \right)}}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 9} \right) = 11$.

Suy ra n = 11. Vậy m + n = −9 + 11 = 2.

Trả lời: 2.

Ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}$ liên tục trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) = 3$; f(1) = 3m + 1.

Hàm số liên tục trên ℝ khi hàm số liên tục tại x = 1 Û $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ Û 3 = 3m + 1 Û $m = \frac{2}{3}$.

Suy ra P = 9m$^{2}$ + 6m – 2 $= 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 6.\left( {\frac{2}{3}} \right) - 2 = 6$.

Trả lời: 6.

Ta có f(1) = a + 2b – 7.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3ax - 4b} \right) = 3a - 4b$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {a{x^2} + 2bx - 7} \right) = a + 2b - 7$.

Để hàm số liên tục trên ℝ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Û a + 2b – 7 = 3a – 4b Û 2a – 6b = −7 Û $a - 3b = - \frac{7}{2} = - 3{,}5$.

Trả lời: −3,5.

Với x $\in$ (0; 1) thì T(x) = 15000 liên tục trên (0; 1).

Với x $\in$ (1; 20) thì T(x) = a + (x – 1).14000 liên tục trên (1; 20).

Với x $\in$ (20; +∞) thì T(x) = b + (x – 20).12000 liên tục trên (20; +∞).

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} T\left( x \right) = T\left( 1 \right) \Rightarrow a = 15000$.

Để hàm liên tục tại x = 20 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {20} \right) \Rightarrow b = 15000 + 14000.19 = 281000$.

Vậy $\frac{b}{a} = \frac{{281}}{{15}} \approx 18{,}7$.

Trả lời: 18,7.