Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

A

Theo định nghĩa: trong không gian, góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

A

Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

D

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD. Suy ra MN // CD.

Ta có MN // CD và BC $\perp$ CD nên MN $\perp$ BC.

B

Do (BD, A'C') = (BD, AC) = 90°. (Vì BD, AC là hai đường chéo của hình thoi).

C

Do I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC$\Rightarrow$ IJ // AC.

Mà AC $\perp$ BD (vì BD, AC là hai đường chéo của hình thoi).

Suy ra IJ $\perp$BD.

A

Do SA $\perp$ BC $\Rightarrow$ SA $\perp$ AD nên tam giác SAD vuông tại A.

Vì BC // AD nên góc giữa BC với SD chính là góc giữa AD với SD.

Vì tam giác SAD vuông cân tại A nên $\widehat {SAD} = 45^\circ$.

A

Ta có AB // CD nên (AB, SC) = (CD, SC) = $\widehat {SCD}$.

Gọi M là trung điểm của CD. Tam giác SCM vuông tại M và có $SC = a\sqrt 2$, CM = a nên là tam giác vuông cân tại M nên $\widehat {SCD} = 45^\circ$. Vậy (AB, SC) = 45°.

C

Ta có IJ // SB và CD // AB nên (IJ, CD) = (SB, AB) = $\widehat {SBA} = 60^\circ$.

(vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a).

D

Ta có BD // B'D' nên (AC, B'D') = (AC, BD).

Gọi O = AC $\cap$ BD.

Vì $\widehat {CAD} = 40^\circ$ $\Rightarrow$ $\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = 50^\circ \Rightarrow \widehat {AOB} = 80^\circ$.

Vậy (AC, BD) = 80°.

C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).

Theo đề có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông cân tại A và H là trung điểm của BC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB ta có MN // AB và HN // SC.

Do đó góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN.

Xét tam giác MNH ta có $MN = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};HN = \frac{{SC}}{2} = \frac{a}{2};MH = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}$.

Do đó DMNH là tam giác đều $\Rightarrow$ $\widehat {MNH} = 60^\circ$.

Xét tam giác $SBD$ có $MN$là đường trung bình, suy ra $MN//BD$. (1)

Mặt khác: $AC \bot BD$(hai đường chéo trong hình thoi).$(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AC \bot MN$ hay $(MN,AC) = 90^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Vì $CD//AB$ (hai cạnh đối trong hình thoi) nên $(CD,SA) = (AB,SA) = 90^\circ$.

Vậy $SA \bot CD$.

Vì $BC//AD$ (hai cạnh đối trong hình thoi) nên $(SD,BC) = (SD,AD)$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có:

$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}}}&{ = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 }\\{ \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ .}&{}\\{ \Rightarrow \,\,\,\,\,(SD,BC)}&{ = (SD,AD)}\\{}&{ = \widehat {SDA} = 60^\circ .}\end{array}$$

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác $ABCD$, A'B'BA, B'C'CB đều là hình thoi.

$AC \bot BD$ mà $AC//A'C' \Rightarrow A'C' \bot BD$.

$A'B \bot AB'$ mà $AB'//DC' \Rightarrow A'B \bot DC'$.

$BC' \bot B'C$ mà $B'C//A'D \Rightarrow BC' \bot A'D$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Vì DSAB vuông cân tại S và SA = a nên SB = a và $AB = \sqrt {S{A^2} + S{B^2}} = a\sqrt 2$.

b) Vì DABC vuông cân tại C và AB = $a\sqrt 2$ nên AC = CB = a.

Xét DSBC có SB = BC = a và $\widehat {BSC} = 60^\circ$ nên suy ra $\Delta SBC$ đều.

c) MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB.

Do đó (AB, CM) = (MN, CM).

d) Ta có DSCA và DSCB là các tam giác đều cạnh a nên $CM = CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Có $MN = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMN ta có $\cos \widehat {CMN} = \frac{{M{C^2} + M{N^2} - C{N^2}}}{{2MC.MN}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$.

$\Rightarrow \cos \left( {AB,CM} \right) = \cos \left( {MN,CM} \right) = \left| {\cos \widehat {CMN}} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có: $BC'//AD'$ nên $\left( {AD',B'C} \right) = \left( {BC',B'C} \right) = 90^\circ$.

Ta có: $BC'//AD'$ nên $\left( {AD',DC'} \right) = \left( {BC',DC'} \right) = \widehat {BC'D}$

Ta có: $\Delta BC'D$ đều nên $\widehat {BC'D} = 60^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Vì AB // DC nên (SA, DC) = (SA, AB) = 60° (do tam giác SAB đều).

Do đó sin(SA, DC) = sin60° ≈ 0,87.

Trả lời: 0,87.

Theo giả thiết A'B'C'D' là hình thoi nên (A'C', BD) = (A'C', B'D') = 90°.

Trả lời: 90.

Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN//SA \Rightarrow (MN,SC) = (SA,SC)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có:

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{AC}&{ = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(a\sqrt 2 )}^2}} = 2a.}\end{array}$

Xét tam giác $SAC$, ta có:

$S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\left( {{\rm{do }}{a^2} + {{(a\sqrt 3 )}^2} = {{(2a)}^2}} \right)$

Suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $S$.

Vậy $(MN,SC) = (SA,SC) = 90^\circ$.

Trả lời: 90.

Gọi P là trung điểm của CD.

Ta có MP // AC và NP // BD.

Mà AC $\perp$ BD nên MP $\perp$ NP hay tam giác MNP vuông tại P.

Lại có $MP = \frac{1}{2}AC = 3;NP = \frac{1}{2}BD = 4$.

Suy ra $MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Trả lời: 5.

Ta có (MN, MO) = $\widehat {NMO}$.

Vì MN là đường trung bình của DSAB nên $MN = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}$.

MO là đường trung bình của DABD nên $MO = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}$.

NO là đường trung bình của DSBD nên $NO = \frac{{SD}}{2} = \frac{a}{2}$.

Suy ra DMON là tam giác đều nên $\alpha = \widehat {NMO} = 60^\circ$. Do đó $\cos \alpha = 0{,}5$.

Trả lời: 0,5.