Trắc nghiệm Đường trung bình của tam giác lớp 8 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: A

Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác là đường trung bình của tam giác.

Đáp án đúng là: B

Vì $D,\;E$ lần lượt là trung điểm của $AB,\;AC$ nên $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó, $DE = \frac{1}{2}BC.$

Đáp án đúng là: C

$\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB,\;DE\;{\rm{//}}\;BC$ nên $E$ là trung điểm của $AC.$ Do đó, $\frac{{AC}}{{AE}} = 2.$

Đáp án đúng là: B

$\Delta ABC$ có: $M$ là trung điểm của $AB,\;N$ là trung điểm của $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$ Do đó, $MN\;{\rm{//}}\;BC.$

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $BD.$

Tam giác $BCD$ có: $O$ là trung điểm của $BD,$$E$ là trung điểm của $BC$ nên $OE$ là đường trung bình của tam giác $BCD.$ Do đó, $OE\;{\rm{//}}\;DC,\;CD = 2OE.$ Do đó, chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

$\Delta ABC$ có: $D$ là trung điểm của $AB,\;E$ là trung điểm của $BC$ nên $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$ Do đó, $DE\;{\rm{//}}\;AC.$ Do đó, $\widehat C = \widehat {BED}$ (hai góc đồng vị).

Đáp án đúng là: B

Vì điểm $I$ đối xứng với điểm $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AI.$

Vì điểm $K$ đối xứng với điểm $A$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm của $AK.$

$\Delta AIK$ có: $B$ là trung điểm của $AI$ và $C$ là trung điểm của $AK$ nên $BC$ là đường trung bình của $\Delta AIK.$ Do đó, $BC = \frac{1}{2}IK.$

Đáp án đúng là: D

Vì $\widehat {NBC} = \widehat {BNM},$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $MN\;{\rm{//}}\;BC.$

$\Delta AMN$ có: $MN\;{\rm{//}}\;BC$ và $B$ là trung điểm của $AM$ nên $C$ là trung điểm của $AN.$

Do đó, $MC$ là đường trung tuyến của $\Delta AMN.$

Đáp án đúng là: C

$\Delta ABC$ có: $E$ là trung điểm của $AC,\;D$ là trung điểm của $AB.$ Do đó, $ED$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$ Suy ra: $BC = 2ED = 2 \cdot 110 = 220\;\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ là $220\;{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: B

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $E$ là trung điểm của $BD.$

$\Delta ABD$ có: $E$ là trung điểm của $BD,\;EF\;{\rm{//}}\;AD$ nên $F$ là trung điểm của $AB.$

$\Delta ABD$ có: $E$ là trung điểm của $BD,\;F$ là trung điểm của $AB.$

Do đó, $EF$ là đường trung bình của $\Delta ABD.$ Suy ra: $EF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$ Vậy $EF = 2\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

a) Sai.

$\Delta ABC$ có: $E$ là trung điểm của $BC,\;D$ là trung điểm của $AC.$

Do đó, $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

b) Đúng.

Vì $ED$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $DE = \frac{1}{2}AB.$

c) Sai.

Vì $ED$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $DE\;{\rm{//}}\;AB.$ Mà $AB \bot AC$ nên $DE \bot AC.$

Do đó, $\Delta CDE$ vuông tại $D.$

Diện tích $\Delta CDE$ là: ${S_{\Delta CDE}} = \frac{1}{2}DE \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AC \cdot \frac{1}{2}AB = \frac{1}{8}AB \cdot AC.$ Vậy ${S_{\Delta CDE}} = \frac{1}{8}AC \cdot AB.$

d) Đúng.

Diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC.$

Ta có: $\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta CDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AB \cdot AC}}{{\frac{1}{8}AC \cdot AB}} = 4.$ Vậy diện tích tam giác $ABC$ gấp bốn lần diện tích tam giác $CDE.$

a) Đúng.

$\Delta ABC$ có: $E$ là trung điểm của $AC,\;D$ là trung điểm của $AB.$ Do đó, $ED$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$ Suy ra $DE\;{\rm{//}}\;BC.$

b) Đúng.

$\Delta AGC$ có: $FE\;{\rm{//}}\;GC,\;E$ là trung điểm của $AC$ suy ra $F$ là trung điểm của $AG.$

c) Sai.

$\Delta AGC$ có: $F$ là trung điểm của $AG,\;E$ là trung điểm của $AC$ nên $FE$ là đường trung bình của $\Delta AGC.$ Do đó, $GC = 2FE = 2 \cdot 6 = 12\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$ Vậy $GC = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

d) Sai.

Vì $DE\;{\rm{//}}\;BC,$ mà $DE \bot AG$ nên $BC \bot AG.$ Do đó, $\Delta AGC$ vuông tại $G.$

Vì $F$ là trung điểm của $AG$ nên $AG = 2AF = 2 \cdot 8 = 16\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Diện tích $\Delta AGC$ vuông tại $G$ là: $S = \frac{1}{2}AG \cdot GC = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).$

Vậy diện tích $\Delta AGC$ bằng $96\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

a) Sai.

Vì $E,\;F$ lần lượt là trung điểm của $AD,\;BC$ nên $AE = ED = \frac{1}{2}AD,\;BF = FC.$

Vì $AB\;{\rm{//}}\;CD$ nên $\widehat B = \widehat {{C_1}}$ (hai góc so le trong).

$\Delta FBA$ và $\Delta FCK$ có: $\widehat B = \widehat {{C_1}},\;BF = FC,\;\widehat {{F_1}} = \widehat {{F_2}}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\Delta FBA = \Delta FCK\;\left( {g - c - g} \right).$

Suy ra: $AB = CK.$

b) Đúng.

Vì $\Delta FBA = \Delta FCK\;\left( {cmt} \right)$ nên $AF = FK.$ Suy ra, $F$ là trung điểm của $AK.$

$\Delta ADK$ có: $E,\;F$ lần lượt là trung điểm của $AD,\;AK$ nên $EF$ là đường trung bình của $\Delta ADK.$

Suy ra: $EF\;{\rm{//}}\;KD,$ mà $AB\;{\rm{//}}\;CD$ nên $EF\;{\rm{//}}\;AB\;{\rm{//}}\;CD.$

c) Đúng.

Vì $EF$ là đường trung bình của $\Delta ADK$ nên $EF = \frac{1}{2}DK.$

d) Sai.

Ta có: $EF = \frac{1}{2}DK = \frac{1}{2}\left( {CK + DC} \right).$ Mà $AB = CK\;$(cmt) nên $EF = \frac{{AB + CD}}{2}.$

a) Đúng.

$\Delta BEC$ có: $M$ là trung điểm của $BC,\;FM\;{\rm{//}}\;CE$ nên $F$ là trung điểm của $BE.$ Do đó, $BE = 2FE.$

b) Đúng.

$\Delta AFM$ có: $I$ là trung điểm của $AM,\;EI\;{\rm{//}}\;FM$ nên $E$ là trung điểm của $AF.$

Do đó, $FE = AE.$ Mà $FB = FE$ (do $F$ là trung điểm của $BE$) nên $FE = AE = FB = \frac{1}{3}AB.$

Suy ra, $AF = \frac{2}{3}AB.$

c) Sai.

$\Delta AFM$ có: $I$ là trung điểm của $AM,\;E$ là trung điểm của $AF$ nên $IE$ là đường trung bình của $\Delta AFM.$ Do đó, $FM = 2EI.$

d) Sai.

$\Delta BEC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\;F$ là trung điểm của $BE$ nên $FM$ là đường trung bình của $\Delta BEC.$ Do đó, $EC = 2MF.$ Lại có: $FM = 2EI$ nên $EC = 4EI$ hay $EI = \frac{1}{4}EC.$

Vì $EC = EI + IC$ nên $IC = EC - IE = EC - \frac{1}{4}EC = \frac{3}{4}EC.$ Vậy $IC = \frac{3}{4}EC.$

a) Đúng.

$\Delta ABD$ có $E,\;M$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BD$ nên $EM$ là đường trung bình của $\Delta ABD.$

b) Sai.

$\Delta CBD$ có $F,\;M$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$ nên $FM$ là đường trung bình của $\Delta CBD.$

Do đó, $MF = \frac{1}{2}DC.$

c) Đúng.

$\Delta MEF$ có: $ME + MF \ge EF$ (bất đẳng thức của tam giác).

d) Sai.

Vì $EM$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $EM = \frac{1}{2}AB.$

Ta có: $ME + MF \ge EF.$ Mà $MF = \frac{1}{2}DC,\;EM = \frac{1}{2}AB$ nên $EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.$

Đáp án: $20$

Chu vi $\Delta ABC$ bằng $40\;{\rm{cm}}$ nên $AB + AC + BC = 40\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vì $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\;AC$ nên $AM = \frac{1}{2}AB,\;AN = \frac{1}{2}AC.$

$\Delta ABC$ có $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\;AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Suy ra: $MN = \frac{1}{2}BC.$

Chu vi $\Delta AMN$ là: $AM + AN + MN = \frac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right) = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy chu vi $\Delta AMN$ bằng $20\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: $3$

Vì $E$ là trung điểm của $BC$ nên $EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

$\Delta ABC$ có: $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\;AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Suy ra $MN\;{\rm{//}}\;BC$ hay $IN\;{\rm{//}}\;EC.$

$\Delta AEC$ có: $N$ là trung điểm của $AC,\;IN\;{\rm{//}}\;EC$ nên $I$ là trung điểm của $AE.$

$\Delta AEC$ có: $N$ là trung điểm của $AC,\;I$ là trung điểm của $AE$ nên $IN$ là đường trung bình của $\Delta AEC.$ Do đó, $IN = \frac{1}{2}EC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$ Vậy $IN = 3\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: $1$

$\Delta ABC$ có: $M,\;N$ lần lượt là trung điểm của $AC,\;BC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Suy ra: $MN\;{\rm{//}}\;AB\;\left( 1 \right).$

$\Delta IEF$ có: $M$ là trung điểm của $FI,\;N$ là trung điểm của $EI$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta IEF.$ Suy ra: $MN\;{\rm{//}}\;EF\;\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)$ ta có: $EF\;{\rm{//}}\;AB.$ Do đó, $\widehat F = \widehat {ABM}$ (hai góc ở so le trong).

Vậy số thích hợp điền vào dấu “…” là $1.$

Đáp án: $150$

$\Delta ADC$ có $H,\;G$ lần lượt là trung điểm của $AD,\;DC$ nên $HG$ là đường trung bình của $\Delta ADC.$

Do đó, $HG = \frac{1}{2}AC.$

Chứng minh tương tự ta có:

$EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $EF = \frac{1}{2}AC.$

$FG$ là đường trung bình của $\Delta DBC$ nên $FG = \frac{1}{2}BD.$

$EH$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $EH = \frac{1}{2}BD.$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD.$

Do đó, $EF = FG = GH = HE.$ Do đó, tứ giác $EFGH$ là hình thoi.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC,\;AD\;{\rm{//}}\;CB.$

Vì $H$ là trung điểm của $AD$ nên $AH = \frac{1}{2}AD.$ Vì $F$ là trung điểm của $BC$ nên $BF = \frac{1}{2}BC.$

Do đó, $AH = BF.$

Tứ giác $AHFB$ có: $AH = BF,\;AH\;{\rm{//}}\;BF$ nên tứ giác $AHFB$ là hình bình hành.

Do đó, $HF = AB = 15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Chứng minh tương tự ta có tứ giác $EGCB$ là hình bình hành. Do đó, $EG = CB = 20\;{\rm{cm}}.$

Diện tích hình thoi $EFGH$ là: $\frac{1}{2}FH \cdot EG = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vậy diện tích hình thoi $EFGH$ là $150\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Đáp án: $6$

$\Delta ABC$ có: $H$ là trung điểm $BC,\;HK\;{\rm{//}}\;AB$ nên $K$ là trung điểm của $AC.$

$\Delta ABC$ có: $H$ là trung điểm $BC,\;K$ là trung điểm của $AC$ nên $HK$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó, $AB = 2HK.$

Ta có: $AB + HK = 18\;{\rm{cm}}$ nên $2HK + HK = 18.$ Suy ra $3HK = 18.$ Vậy $HK = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$