Trắc nghiệm Định lí Viète và ứng dụng lớp 9 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: B

Định lí Viète: Nếu ${x_1};\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..$

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right).$

Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = 1$, còn nghiệm kia là ${x_2} = \frac{c}{a}.$

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right).$

Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là ${x_1} = - 1$, còn nghiệm kia là ${x_2} = - \frac{c}{a}.$

Đáp án đúng là: B

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai

${x^2} - Sx + P = 0.$

Điều kiện để có hai số đó là ${S^2} - 4P \ge 0.$

Đáp án đúng là: A

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 3;\,\,\,{x_1}{x_2} = 2.$

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có $a = 1\,;\,\,b = - 3\,;\,\,c = 2$.

Ta có $a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = 2.$

Đáp án đúng là: A

Phương trình $\sqrt 2 {x^2} + x - \sqrt 2 + 1 = 0$ có $a = \sqrt 2 \,;\,\,b = 1\,;\,\,c = - \sqrt 2 + 1$.

Ta có $a - b + c = \sqrt 2 - 1 + \left( { - \sqrt 2 + 1} \right) = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 }}.$

Đáp án đúng là: A

Xét điều kiện để có hai số đó là ${\left( { - 6} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 8} \right) = 78 > 0$ (thỏa mãn).

Vậy hai số có $S = {x_1} + {x_2} = - 6;\,\,P = {x_1}{x_2} = - 8$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + 6x - 8 = 0.$

Đáp án đúng là: B

Tổng của hai nghiệm là $3 + \sqrt 2 + 3 - \sqrt 2 = 6$ và tích của hai nghiệm là $\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right) = 9 - 2 = 7.$

Do đó $3 + \sqrt 2$ và $3 - \sqrt 2$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0.$

Đáp án đúng là: B

Phương trình ${x^2} - 5mx - 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5m} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25{m^2} + 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};\,{x_2}.$

Theo định lí Viète, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5m\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right.$.

Ta có: $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {5m} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 25{m^2} + 4.$

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Nhận thấy phương trình (1) có biệt thức là $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4m + 1 = {m^2} - 2m + 2$.

Ta có: $\Delta ' = {m^2} - 2m + 2 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1$ với mọi $m$.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

b) Sai.

Áp dụng định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 1\end{array} \right.$ .

c) Sai.

Theo đề, ta có: $x_1^2 + x_2^2 = 10$

$x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 10$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10$

$4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10$

$4{m^2} + 8m + 4 - 8m + 2 - 10 = 0$

$4{m^2} - 4 = 0$

${m^2} = 1$

$m = 1$ hoặc $m = - 1$ (thỏa mãn).

Vậy $m = 1$ và $m = - 1$ là giá trị cần tìm.

d) Đúng.

Từ hệ thức Viète ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4m - 1\end{array} \right.$

Ta có: ${x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)$ hay ${x_1} + {x_2} = 2m + 2$ suy ra $2m = {x_1} + {x_2} - 2$ (*)

Thay (*) vào ${x_1}{x_2} = 4m - 1$, ta được: ${x_1}{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right) - 1$ suy ra $2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.$

Vậy biểu thức $2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5$ luôn đúng với mọi $m$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Với $m = 3$, ta có phương trình: ${x^2} - 10x + 16 = 0$.

Ta có: ${x^2} - 10x + 16 = 0$ hay ${x^2} - 2x - 8x + 16 = 0$ suy ra $x\left( {x - 2} \right) - 8\left( {x - 2} \right) = 0$,

Do đó $\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right) = 0$ nên $x = 2$ hoặc $x = 8$.

b) Sai.

Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0$.

Ta có: $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - {m^2} - 3m + 2 = m + 6 > 0$ suy ra $m > - 6$.

c) Đúng.

Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì theo định lí Viète, có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m - 2\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Ta có: $A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2$

$$A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - \left( {2{x_1}{x_2} + x_1^2 + x_2^2} \right)$$

$$A = 2018 + 5{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}$$

$$A = 2018 + 5\left( {{m^2} + 3m - 2} \right) - {\left[ {2\left( {m + 2} \right)} \right]^2}$$

$$A = 2018 + {m^2} + 7m - 18$$

$$A = {m^2} + 7m + 2000$$

$A = {\left( {m + \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{7591}}{4} \ge \frac{{7591}}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi $m + \frac{7}{2} = 0$ hay $m = - \frac{7}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy biểu thức $A = 2018 + 3{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{7591}}{4}$ khi $m = - \frac{7}{2}$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0$.

Ta có: $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - {m^2} + 4m - 3 = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 4m - 3 = 6m - 2$

Suy ra $6m - 2 > 0$, do đó $m > \frac{1}{3}$.

b) Đúng.

Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt, theo định lí Viète, có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m + 3\end{array} \right.$.

c) Đúng.

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac < 0$ hay ${m^2} - 4m + 3 < 0$ hay $\left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) < 0$

Do đó, giải bất phương trình suy ra $1 < m < 3$.

d) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm thì ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\2\left( {m + 1} \right) < 0\\{m^2} - 4m + 3 > 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{3}\\m < - 1\\\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện nhận thấy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Với $m = 1$ thì ta có phương trình ${x^2} + 3 = 0$.

Vì ${x^2} + 3 > 0$ với mọi $x$.

Do đó, với $m = 1$ thì phương trình vô nghiệm.

b) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0$

Do đó, ${\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} - 2 > 0$ hay $- 2m - 1 > 0$ suy ra $m < - \frac{1}{2}$.

c) Sai.

Khi phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ phân biệt thì ta có định lí Viète, có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Theo định lí Viète, có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.$.

Ta có: ${x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4{\left( {m - 1} \right)^2}$$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4{m^2} - 8m + 4$$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4\left( {{m^2} + 2} \right) - 8\left( {m - 1} \right) - 12$$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 12$$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 12$$

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Với $m = 2$ thì ta có phương trình: ${x^2} - 2x = 0$ hay $x\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$.

b) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0$

Ta có: $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - {m^2} + 4 = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 = - 2m + 5$

Suy ra $- 2m + 5 > 0$, do đó $m < \frac{5}{2}$.

c) Đúng.

Khi phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ phân biệt thì theo định lí Viète, có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\end{array} \right.$.

d) Sai.

Ta có: ${x_1}\left( {{x_1} - 3} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 3} \right) = 6$

$$x_1^2 - 3{x_1} + x_2^2 - 3{x_2} = 6$$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = 6$$

$$4{\left( {m - 1} \right)^2} - 6\left( {m - 1} \right) - 2\left( {{m^2} - 4} \right) = 6$$

$$4{m^2} - 8m + 4 - 6m + 6 - 2{m^2} + 8 - 6 = 0$$

$$2{m^2} - 14m + 12 = 0$$

$${m^2} - 7m + 6 = 0$$

$$\left( {m - 1} \right)\left( {m - 6} \right) = 0$$

Do đó, $m = 1$ (thỏa mãn) hoặc $m = 6$ (loại do $m < \frac{5}{2}$).

Vậy có giá trị $m = 1$ thỏa mãn.

Lời giải

Đâp án: 6

Phương trình $- 2{x^2} - 6x - 1 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 28 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};\,{x_2}$

Theo định lí Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Ta có $N = \frac{1}{{{x_1} + 3}} + \frac{1}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}} = \frac{{ - 3 + 6}}{{\frac{1}{2} + 3.\left( { - 3} \right) + 9}} = 6.$

Đáp án: 35

Phương trình ${x^2} + 2x + m = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m.$

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$ hay $4 - 4m > 0$ hay $m < 1.$

Theo định lí Viète, ta có$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Theo đề bài ta có $3x{}_1 + 2{x_2} = 1\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\3x{}_1 + 2{x_2} = 1\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = - 7\end{array} \right.$

Thay ${x_1} = 5$ và ${x_2} = - 7$ vào phương trình $\left( 2 \right)$ ta được $m = 5.\left( { - 7} \right) = - 35$

Vậy $m = - 35$ thì phương trình ${x^2} + 2x + m = 0$ có hai nghiệm ${x_1};\,\,{x_2}$ thỏa mãn $3x{}_1 + \,2{x_2} = 1.$

Đáp án: −3

Phương trình ${x^2} - 5x + m + 4 = 0$có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 25 - 4\left( {m + 4} \right) = 9 - 4m.$

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$ hay $9 - 4m > 0$ hay $m < \frac{9}{4}.$

Theo định lí Viète ta có$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.$.

Xét $x_1^2 + x_2^2 = 23$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 23$

$25 - 2m - 8 = 23$

$m = - 3$(thỏa mãn)

Vậy $m = - 3$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1};\,\,{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 23.$

Đáp án: 1

Phương trình ${x^2} - 2x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta ' = 2 - m > 0$ hay $m < 2.$

Ta có $\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 1$

$\left| {m - 1} \right| = 1$

$m = 0$ hoặc $m = 2.$

Vậy $m = 0$ thỏa mãn.

Đáp án: 0

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ có:

${x^2} = \left( {m + 1} \right)x - m$

${x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0$

${x^2} - mx - x + m = 0$

$\left( {x - m} \right)x - \left( {x - m} \right) = 0$

$\left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

Suy ra $x = 1$ hoặc $x = m$.

Vì ${x_1};\,\,{x_2}$ có vai trò như nhau nên

Mà $\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2022$ hay $\left| 1 \right| + \left| m \right| = 2022$.

Do đó, $\left| m \right| = 2021$, suy ra $m = 2021$ hoặc $m = - 2021$.

Vậy tổng các giá trị $m$ thỏa mãn là $2021 + \left( { - 2021} \right) = 0$.