Trắc nghiệm Đạo hàm cấp hai lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

D

Ta có $y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1$$\Rightarrow y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1 \Rightarrow y'' = 20{x^3} - 36{x^2}$.

C

$y = - 3\cos x$$\Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x$.

$y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

C

$f\left( x \right) = \,{\left( {3x - 7} \right)^5}$

$f'\left( x \right)\,\, = \,15{\left( {3x - 7} \right)^4}$.

$f''\left( x \right) = \,\,180\,{\left( {3x - 7} \right)^3}$.

Vậy $f''\left( 2 \right)\, = \,\, - 180$.

C

Ta có: $y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }},\,\,\,y'' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}}$

Do đó: $A = {y^3}.y'' = - 1$.

D

Ta có $y = 3 - \frac{5}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};y'' = - \frac{{10}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}$.

A

$y' = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right)$$= - \sin 2x$$\Rightarrow y'' = - 2\cos 2x$.

C

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x + 1$, $y'' = 6x - 6$$\Rightarrow y'' = 0$$\Leftrightarrow x = 1$.

A

$f'\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$, $f''\left( x \right) = \frac{8}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}$.

Khi đó $f''\left( { - 1} \right) = - \frac{8}{{27}}$.

B

Ta có v(t) = s'(t) = $- 6\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$; a(t) = v'(t) = $- 12{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$.

Khi đó $a\left( 2 \right) = - 12{\pi ^2}\cos \left( {2\pi .2 + \frac{\pi }{3}} \right) \approx - 59{,}22$ cm/s$^{2}$.

B

Ta có v(t) = s'(t) = −3t$^{2}$ + 2t + 1; a(t) = v'(t) = −6t + 2.

Ta có v(t) = −3t$^{2}$ + 2t + 1 = $- 3{\left( {t - \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \le \frac{4}{3}$.

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi $t = \frac{1}{3}$.

Do đó $a\left( {\frac{1}{3}} \right) = - 6.\frac{1}{3} + 2 = 0$.

Ta có v(t) = s'(t) = $4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)$; $a\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)$.

a) $a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = - 16{\pi ^2}$ cm/s$^{2}$.

b) $v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = 4\pi$ cm/s.

c) Có $- 4\pi \sqrt 2 \le 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 4\pi \sqrt 2$.

Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là $4\pi \sqrt 2$ cm/s.

d) $- 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2$.

Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là $- 16{\pi ^2}\sqrt 2$ cm/s$^{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có v(t) = s'(t) = 3t$^{2}$ – 6t; a(t) = v'(t) = 6t – 6.

a) v(7) = 3.7$^{2}$ – 6.7 = 105 m/s.

b) s(5) = 5$^{3}$ – 3.5$^{2}$ + 20 = 70 m.

c) a(10) = 6.10 – 6 = 54 m/s$^{2}$.

d) v(5) = 3.5$^{2}$ – 6.5 = 45 m/s.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có y' = 2cos2x; y" = −4sin2x.

a) $y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

b) Có 4y + y" = 4sin2x – 4sin2x = 0.

c) $y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 1$.

d) Ta có $M\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là $y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 1$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng $y = x - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ không song song với đường thẳng 2x – y – 2025 = 0.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có f'(x) = 3x$^{2}$ – 6x.

f'(1) = 3.1$^{2}$ – 6.1 = −3.

b) Có f"(x) = 6x – 6.

c) Có k = f'(1) = −3.

Suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng y = −3(x – 1) + 1 = −3x + 4.

d) Có f(x) = f'(x) + f"(x) – 6x$^{2}$ + 9

$\Leftrightarrow$ x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 3 = 3x$^{2}$ – 6x + 6x – 6 – 6x$^{2}$ + 9 $\Leftrightarrow$ x$^{3}$ = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0.

Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Điều kiện: 2x – 4 > 0 $\Leftrightarrow$ x > 2.

Suy ra tập xác định D = (2; +∞).

b) Có $y' = \frac{2}{{2x - 4}} = \frac{1}{{x - 2}}$; $y'' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

c) Có y" = −1 $\Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - 1$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$.

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 4.

d) Có y" + y' + m – 2 = 0 $\Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{x - 2}} + m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow - 1 + \left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0$(x ≠ 2).

Đặt t = x – 2 (t ≠ 0). Khi đó phương trình trở thành (m – 2)t$^{2}$ + t – 1 = 0 (1).

Để phương trình y" + y' + m – 2 = 0 có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ sao cho tổng của chúng bằng 5 thì (1) có hai nghiệm t$_{1}$, t$_{2}$ sao cho t$_{1}$ + t$_{2}$ = 1

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\Delta = {1^2} + 4\left( {m - 2} \right) > 0\\ - \frac{1}{{m - 2}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > \frac{7}{4}\\m = 1\end{array} \right.$. Không có giá trị nào thỏa mãn.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có v(t) = s'(t) = 3t$^{2}$ + 2mt; a(t) = v'(t) = 6t + 2m.

Ta có v(10) = 0 $\Leftrightarrow$ 3.10$^{2}$ + 20m = 0 $\Leftrightarrow$ m = −15.

Khi đó a(t) = 6t – 30. Khi đó a(2) = 6.2 – 30 = −18.

Trả lời: −18.

Ta có: $s'\left( t \right) = 3{\left( {\sin 2t} \right)^\prime } + 2{\left( {\cos 2t} \right)^\prime } = 6\cos 2t - 4\sin 2t$.

Và $s''(t) = 6{\left( {\cos 2t} \right)^\prime } - 4{\left( {\sin 2t} \right)^\prime } = - 12\sin 2t - 8\cos 2t$.

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = \frac{\pi }{4}$ là:

$a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = s''\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 12\left[ {\sin \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] - 8\left[ {\cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = - 12$.

Trả lời: −12.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 2{t^2} + 6t$; a(t) = v'(t) = 2t$^{2}$ – 4t + 6.

Þ a(t) = 2(t$^{2}$ – 2t + 1) + 4 = 2(t – 1)$^{2}$ + 4 ≥ 4.

Dấu “=” xảy khi khi t = 1.

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm có giá trị nhỏ nhất là 4 khi t = 1 s, khi đó vận tốc chuyển động của chất điểm là $v\left( 1 \right) = \frac{{14}}{3} \approx 4{,}67$ (m/s).

Trả lời: 4,67.

Ta có $f'\left( x \right) = \left( {1 - 2x} \right){e^{x - {x^2}}}$; $f''\left( x \right) = - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}} = \left[ { - 2 + {{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} \right]{e^{x - {x^2}}}$.

Khi đó f"(x) = 0 $\Leftrightarrow {\left( {1 - 2x} \right)^2} = 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x = \sqrt 2 \\1 - 2x = - \sqrt 2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra ${x_1}{x_2} = - \frac{1}{4} = - 0{,}25 \approx - 0{,}3$.

Trả lời: −0,3.

$f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{x^2} + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^3} + 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2} - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$;

$f''\left( x \right) = \frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}$$= \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}$.

Suy ra a = 2; b = −6; c = 6; d = 10.

Từ đó a – b + c – 2d = 2 + 6 + 6 – 20 = −6.

Trả lời: −6.