Trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có đáp án - phần 2)

Chọn A

Áp dụng công thức ở lý thuyết.

Chọn D

Gọi $\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.

$\overrightarrow {{u_1}} \, = \,(1;\,\,1;\,\,0);\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,( - \,1;\,\,0;\,\,1)$

Áp dụng công thức ta có $cos\left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| { - \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow ({d}_{1},{d}_{2})\ =\ 60^{\circ}$

Chọn C

Gọi $\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n$ lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P). $\overrightarrow u = \left( {1;\,\, - 2;\,\,1} \right);\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left( {5;\,\,11;\,\,2} \right)$

Áp dụng công thức ta có $\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.5 - 11.2 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}.$

$\Rightarrow \ (Δ,(P))\ =\ 30^{\circ}.$

Chọn A

Đường thẳng $d$có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)$

Gọi $\alpha$là góc giữa Đường thẳng $d$và Mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó ta có

$\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Do đó $α={60}^{0}$

Chọn A

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow n = ( - \sqrt 3 ;1;0)$

Trục $Ox$có VTCP $\overrightarrow i = (1;0;0)$

Góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$

$${\rm{sin((P);}}Ox{\rm{)}} = \left| {{\rm{cos((P);}}Ox{\rm{)}}} \right|{\rm{ = }}\frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .1 + 1.0 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {3 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$

Vậy góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ bằng 60$^{0}$

Chọn A

Đường thẳng d có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,2t\\y\,\, = \,\,\frac{1}{2}\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\, - \frac{3}{2}\,\, + \,\,t\end{array} \right.,\,\,t\,\, \in \,\,R$. Suy ra VTCP của d là $\overrightarrow {{u_d}} (2;\,\,1;\,\,1)$

Ta có $\sin \left( {d,(P)} \right) = \,\,\left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| {2.3\,\, + \,\,1.4\,\, + \,\,1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2}\,\, + \,\,{1^2}\,\, + \,\,{1^2}} .\sqrt {{3^2}\,\, + \,\,{4^2}\,\, + \,\,{5^2}} }}\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$\Rightarrow \ (d,(P))\ =\ 60^{\circ}$

Chọn A

Gọi $\overrightarrow {{n_\alpha }}$, $\,\overrightarrow {{n_\beta }}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$.

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, - \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, - \,2)$.

Áp dụng công thức:

$cos((\alpha ),\,(\beta ))\,\, = \,\,\left| {cos(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} )} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\frac{{\left| {2.1 - 1.2 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{( - 1)}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {({1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{( - 2)}^2}} }}\,\, = \,\,\frac{4}{9}.$

Chọn B

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

$\cos ((P),(Q))=\frac{|\overrightarrow{{n}_{P}}.\overrightarrow{{n}_{Q}}|}{|\overrightarrow{{n}_{P}}|.|\overrightarrow{{n}_{Q}}|}\ =\ \cos 60^{\circ}\ =\ \frac{1}{2}$

Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng.

Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất.

Chọn A

Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; - m} \right)$, ${\vec n_Q} = \left( {m;m - 3;2} \right)$

$$(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}.{\vec n_Q} = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)m + 2m\left( {m - 3} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.$$

Chọn C

+ Từ hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)$,$A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,$

$B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,$$C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).$

+Ta thấy $OC \bot \left( {BB'D'D} \right)$ và $\overrightarrow {OC} = \left( {a;a;0} \right)$ nên suy ra mặt phẳng $\left( {BB'D'D} \right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1;0.} \right)$.

+Đường thẳng $A'B$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - a} \right)$ ta chọn $\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right).$

+Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.$

Chọn B

Gọi $I = AC \cap BD$.

Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt 2$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SI \bot BD\\AI \bot BD\end{array} \right.$$\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;\,AI} \right)} = \widehat {SIA}$.

Ta có $\tan \alpha = \tan \widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} \Leftrightarrow SA = a$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $A\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $B\left( {a;\,0;\,0} \right)$, $C\left( {a;\,a;\,0} \right)$, $S\left( {0;\,0;\,a} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {SA} = \left( {0;\,0;\, - a} \right)$; $\overrightarrow {SC} = \left( {a;\,a;\, - a} \right)$; $\overrightarrow {SB} = \left( {a;\,0;\, - a} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_2} = \left( {1;\,0;\,1} \right)$.

Suy ra $\cos (\widehat{(SAC);(SBC)})=\frac{|{\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2}|}{|{\overrightarrow{n}}_{1}|.|{\overrightarrow{n}}_{2}|}=\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow (\widehat{(SAC);(SBC)})=60^{\circ}$

Chọn D

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz. $O \equiv A(0;0;0)$; $B(1;0;0);D(0;1;0);C(1;1;0);S(0;0;2)$

Do M là trung điểm của SD nên $M\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)$

$\overrightarrow {BC} = (0;1;0);\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2;0;1} \right)$

$\overrightarrow {MA} = \left( {0;\frac{1}{2};1} \right);\overrightarrow {AC} = (1;1;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - \frac{1}{2}} \right)$. VTPT của (AMC) là: $\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)$

$$\cos \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \tan \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2}}} - 1} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$$

Chọn B

Chọn hệ trục tọa độ $Ox{\rm{yz}}$ sao cho $A \equiv O$, $B \in Ox$, $D \in Oy$, $S \in Oz$.

$\Rightarrow B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)$, $D\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)$, $S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)$. Khi đó $E\left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)$, $F\left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)$, $\overrightarrow {AF} = \left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mp$\left( {AEF} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{a}{4}} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right).$.

Vectơ pháp tuyến của mp$\left( {ABCD} \right)$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {AS} = (0\,;\,0\,;\,a)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right).$.

Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$và $\left( {ABCD} \right)$ là.

$\cos \left( {\left( {AEF} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot$.

Chọn C

Cách 1:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Ta có: $O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$, $A\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)$, $B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)$, $C\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)$, $M\left( {\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}\,;\,0} \right)$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( { - a\,;\,0\,;\,a} \right)$,$\overrightarrow {OM} = \left( {\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}\,;\,0} \right)$

$\Rightarrow \cos \widehat{(\overrightarrow{BC}\ ;\ \overrightarrow{OM})}=\frac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OM}}{BC.OM}=\frac{-\frac{{a}^{2}}{2}}{a.\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{(\overrightarrow{BC}\ ;\ \overrightarrow{OM})}=120^{\circ}$

Cách 2:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\\\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{2}O{B^2} = - \frac{{{a^2}}}{2}$.

$BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 2$ và $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó: $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{OM.BC}=\frac{-\frac{{a}^{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow (\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC})=120^{\circ}$

Chọn B

Gọi $O = AC \cap BD$.

Tam giác $SAO$ vuông : $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Gắn tọa độ như hình vẽ

$A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {a;0;0} \right)$, $C\left( {a;a;0} \right)$, $D\left( {0;a;0} \right)$, $O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)$, $S\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ nên $G\left( {\frac{a}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)$.

Ta có : $\overrightarrow {AS} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)$ $= \frac{a}{2}\left( {1;1;\sqrt 6 } \right)$, $\overrightarrow {BG} = \left( {\frac{{ - a}}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{a}{6}\left( { - 3;5;\sqrt 6 } \right)$.

Góc giữa đường thẳng $BG$ với đường thẳng $SA$ bằng:

$\cos \left( {BG;SA} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AS} } \right|}}{{BG.AS}}$$= \frac{{\left| { - 3 + 5 + 6} \right|}}{{\sqrt {40} .\sqrt 8 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Chọn A

* Chọn $AB = 2 \Rightarrow BD = 2;AC = 2\sqrt 3$, đặt

$AA' = h$, chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ ta có: $D\left( {1;0;0} \right)$, $B\left( { - 1;0;0} \right)$, $C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)$, $D'\left( {1;0;h} \right)$, $C'\left( {0;\sqrt 3 ;h} \right)$, $B'\left( { - 1;0;h} \right)$.

$\Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};h} \right)$, $\overrightarrow {MN} = \left( {1;0;h} \right)$, $\overrightarrow {B'D} = \left( {2;0; - h} \right)$.

* Do $MN \bot B'D \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D} = 0 \Leftrightarrow 2 - {h^2} = 0 \Rightarrow h = \sqrt 2$$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)$. Ta có:

$MN{\rm{//}}\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)$, $\left( {ABCD} \right) \bot \overrightarrow n = \overrightarrow j = \left( {0;0;1} \right)$.

* Do $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ nên ta có:

$\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Chọn C

Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông $a = 1$.

Gọi $O,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Vì $SAB$ là tam giác đều và $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Xét hệ trục $Oxyz$ có $O\left( {0;0;0} \right),M\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;\frac{1}{2};0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$. Khi đó $C\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};0} \right),D\left( {1;\frac{1}{2};0} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {SA} = \left( {0;\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1; - 1;0} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1;\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0;1;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;1} \right)$.

Vậy $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{5}{7}$.

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ $O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.$

Khi đó:$A'(0;0;0)$, $D'(a;0;0)$, $B'(0;a;0)$, $C'(a;a;0)$,

$A(0;0;a)$, $D(a;0;a)$, $B(0;a;a)$, $C(a;a;a)$.

$$\Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D} = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A} = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'} = (a;a;0).$$

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).$

Chọn $\overrightarrow {{n_1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'B'CD} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).$

Chọn $\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$.

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'B'CD} \right)$và $\left( {ACC'A'} \right)$ là:

$\text{cos}α\text{=}|\text{cos}(\overrightarrow{{n}_{1}},\overrightarrow{{n}_{2}})|=\frac{|-1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow α=60^{\circ}.$

Chọn B

Gọi $I$ hình chiếu của $M$ lên $\left( {ABCD} \right)$, suy ra $I$ là trung điểm của $AO$.

Khi đó $CI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}$.

Xét $\Delta CNI$có: $CN = \frac{a}{2}$, $\widehat {NCI} = {45^o}$.

Áp dụng định lý cosin ta có:

$NI = \sqrt {C{N^2} + C{I^2} - 2CN.CI.\cos {{45}^o}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{8} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}$.

Xét $\Delta MIN$ vuông tại $I$nên $MI = \sqrt {M{N^2} - N{I^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} - \frac{{5{a^2}}}{8}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}$.

Mà $MI//SO,\,MI = \frac{1}{2}SO \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ:

Ta có: $O\left( {0\,;\,0;\,0} \right)$, $B\left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)$, $D\left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)$, $C\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)$, $N\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4};\,0} \right)$,

$A\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)$, $S\left( {0\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)$, $M\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\, - \frac{{\sqrt {14} }}{4}\,} \right)\,\,$, $\overrightarrow {SB} = \left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)$, $\overrightarrow {SD} = \left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)$.

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$: $\overrightarrow n = \overrightarrow {SB} \wedge \overrightarrow {SD} = \left( { - \sqrt 7 \,;\,0\,;\,0} \right)$.

Suy ra ${\rm{sin}}\left( {MN\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 7 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{{\sqrt 7 .\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn C

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $O\left( {0;0;0} \right)$,

$A\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)$, $B\left( { - \frac{1}{2};0;0} \right)$, $C\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, $H\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};0} \right)$, $A'H = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$$\Rightarrow A'\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'}$$\Rightarrow B'\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)$. Dễ thấy $\left( {ABC} \right)$ có vtpt $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)$.

$M$ là trung điểm $AA'$$\Rightarrow M\left( {\frac{1}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)$, $N$ là trung điểm $BB'$$\Rightarrow N\left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)$

$\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;0;0} \right)$, $\overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{4};\frac{{ - 5\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)$

$\Rightarrow$ $\left( {CMN} \right)$ có vtpt $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}} \right)$$= \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left( {0;2\sqrt 2 ;5} \right)$

$\cos \varphi =$$\frac{5}{{\sqrt {33} }}$$\Rightarrow \tan \varphi = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1}$$= \frac{{2\sqrt 2 }}{5}$

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A \equiv O$, như hình vẽ:

Khi đó ta có:

$A\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$, $B\left( {2a\,;\,0\,;\,0} \right)$, $D\left( {0\,;\,2a\,;\,0} \right)$, $C\left( {2a\,;\,2a\,;\,0} \right)$, $S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)$, $M\left( {0\,;\,a\,;\,\frac{a}{2}} \right)$.

$\overrightarrow {SB} = \left( {2a\,;\,0\,;\, - a} \right)$,$\overrightarrow {SC} = \left( {2a\,;\,2a\,;\, - a} \right)$,$\overrightarrow {MA} = \left( {0\,;\, - a\,;\, - \frac{a}{2}} \right)$,$\overrightarrow {MC} = \left( {2a\,;\,a\,;\, - \frac{a}{2}} \right)$.

$\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SB} \,,\,\overrightarrow {SC} } \right]$$= \left( {2{a^2}\,;\,0\,;\,4{a^2}} \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {MA} \,,\,\overrightarrow {MC} } \right]$$= \left( {{a^2}\,;\, - {a^2}\,;\,2{a^2}} \right)$.

Gọi $\alpha$($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$) là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {AMC} \right)$và $\left( {SBC} \right)$.

ta có $cos\alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$$= \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,.\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$ $\frac{|2{a}^{2}.{a}^{2}+4{a}^{2}.2{a}^{2}|}{\sqrt{{(2{a}^{2})}^{2}+(4{a}^{2}}{)}^{2}.\sqrt{{({a}^{2})}^{2}+{(-{a}^{2})}^{2}+{(2{a}^{2})}^{2}}}$

$= \frac{{10{a^4}}}{{\sqrt {20.6.{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} }}$$= \frac{5}{{\sqrt {30} }}$.

Mà ${\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1$$= {\left( {\frac{{\sqrt {30} }}{5}} \right)^2} - 1$$= \frac{5}{{25}}$. Suy ra $\tan \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Chọn A

Đặt không gian $Oxyz$ với $A \equiv O(0;0;0),{\rm{ }}AB \equiv Ox,{\rm{ }}AD \equiv Oy,{\rm{ }}AS \equiv Oz$.

Ta có: $S(0;0;a),{\rm{ }}B(a;0;0),{\rm{ }}D(0;2a;0),{\rm{ }}C(a;a;0)$.

$M(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}),{\rm{ }}N(\frac{a}{2};\frac{{3a}}{2};0)$

$\overrightarrow {MN} = (0;\frac{{3a}}{2};\frac{{ - a}}{2})$

$$\overrightarrow {AS} = (0;0;a),\overrightarrow {{\rm{ }}AC} = (a;a;0)$$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0)$ là vtpt của mặt phẳng $(SAC)$.

$\sin (MN;(SAC)) = \frac{{\overrightarrow {MN} .{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}} \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} .\sqrt {{a^4} + {a^4}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}$.

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ. Đặt $SO = m\,,\,\,\left( {m > 0} \right)$.