Trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: B

Do trong hệ trục $Oxyz$, các trục $Ox,Oy,Oz$ đôi một vuông góc với nhau nên góc giữa đường thẳng $Ox$ và đường thẳng $Oy$ là $90^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow u _{Ox}} = \left( {1;0;0} \right)$, ${\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)$.

Suy ra $\sin \left( {Ox,\left( {Oxy} \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_{Ox}},{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}}} \right| = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 0.$

Do đó, góc giữa đường thẳng $Ox$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là $0^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow u _\Delta } = \left( {2; - 1;2} \right)$ và ${\overrightarrow u _{Ox}} = \left( {1;0;0} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {\Delta ,Ox} \right) = \cos \left| {\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{Ox}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{3}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có khẳng định a và c đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\overrightarrow u _{{\Delta _1}}} = \left( {3;2;1} \right)$, ${\overrightarrow u _{{\Delta _2}}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)$.

Góc giữa hai đường thẳng là:

$$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{\Delta _1}}},{{\overrightarrow u }_{{\Delta _2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0.$$

Vậy góc giữa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là $90^\circ .$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \left( {1;2; - 1} \right)$, ${\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {2;1;1} \right)$.

Suy ra $\sin \left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}}} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$

Góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng đó là $30^\circ .$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$, ${\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng

$$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|$$

$$= \frac{{\left| {1.2 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$$

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng $30^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;0;1} \right),$${\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)$.

Suy ra ${\overrightarrow n _{\left( {MNP} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right).$

Suy ra $\cos \left( {\left( {MNP} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {MNP} \right)}}} \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( {1; - \sqrt 2 ;m} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{d'}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }}$.

Theo đề, góc giữa hai đường thẳng là $60^\circ$, do đó $\frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \frac{1}{2}$

Suy ra $2\left| {m + 3} \right| = 2\sqrt {\left( {{m^2} + 3} \right)}$

$${\left( {m + 3} \right)^2} = \left( {{m^2} + 3} \right)$$

$$6m + 6 = 0$$

$$m = - 1.$$

Vậy $m = - 1.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {0; - 1;2} \right),{\overrightarrow u _{{d_2}}} = \left( {1;m; - 1} \right).$

Suy ra $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{d_1}}},{{\overrightarrow u }_{{d_2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }}$.

Để góc giữa hai đường thẳng bằng $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$ thì

$$\frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$$

$$5\left| { - m - 2} \right| = 5\sqrt {{m^2} + 2}$$

$${\left( {m + 2} \right)^2} = {m^2} + 2$$

$${m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2$$

$$m = - \frac{1}{2}.$$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( {0;2;2} \right)$, ${\overrightarrow u _{Oy}} = \left( {0;1;0} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {OA,Oy} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{OA}},{{\overrightarrow u }_{Oy}}} \right)} \right| = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Vậy góc giữa đường thẳng $OA$ và trục $Oy$ bằng $45^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {1;\sqrt 2 ;1} \right),{\overrightarrow u _{{d_2}}} = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{d_1}}},{{\overrightarrow u }_{{d_2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }}$.

Để góc giữa hai đường thẳng bằng $60^\circ$ thì $\frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \cos 60^\circ$

$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow 2\left| {3 + m} \right| = 2\sqrt {{m^2} + 3}$$

$$\Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} = \left( {\sqrt {{m^2} + 3} } \right)$$

$$\Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 = {m^2} + 3$$

$$\Leftrightarrow 6m + 6 = 0$$

$$\Leftrightarrow m = - 1.$$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;2} \right),{\overrightarrow u _d} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$

Suy ra $\left( {d;\left( P \right)} \right) = 30^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\overrightarrow u _d} = \left( {1;1;0} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 1;0;1} \right)$.

Có $\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{d'}}} \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{2} = \frac{1}{2}.$

Suy ra $\alpha = 60^\circ .$

Đáp án đúng là: B

Vì $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ nên ${\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( \beta \right)}}} \right]$.

Ta có: ${\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {1; - 2;0} \right),{\overrightarrow n _{\left( \beta \right)}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Suy ra ${\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( \beta \right)}}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\{ - 3}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3; - 6} \right) = 3\left( {2;1; - 2} \right).$

Lấy ${\overrightarrow u _d} = \left( {2;1; - 2} \right)$, ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {3;4;5} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right| = \frac{{\left| {2.3 + 1.4 + \left( { - 2} \right).5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = 0.$

Vậy số đo góc $\alpha$ giữa $d$ và $\left( P \right)$ là $90^\circ .$

Đáp án đúng là: D

Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$ với ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0$.

Đường thẳng $d$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _d} = \left( {1; - 1; - 3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ nên ${\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = 0$.

Suy ra $A - B - 3C = 0$.

Mà mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tạo với $\left( P \right)$ góc $45^\circ$ nên

$$\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2A - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$

$$\Leftrightarrow 2\left| {2A - C} \right| = \sqrt {10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}$$

$$\Leftrightarrow 4{\left( {2A - C} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)$$

$\Leftrightarrow 16{A^2} - 16AC + 4{C^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)$ (1)

Thay $A = B + 3C$ vào (1), được

$$\Leftrightarrow 3{A^2} - 8AC - 3{C^2} = 5{B^2}$$

$$\Leftrightarrow 3{\left( {B + 3C} \right)^2} - 8\left( {B + 3C} \right)C - 3{C^2} - 5{B^2} = 0$$

$$\Leftrightarrow - 2{B^2} + 10BC = 0$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 5C\\B = 0\end{array} \right.$.

Với $B = 0 \Rightarrow A = 3C \Rightarrow \left( \alpha \right):x + 3z = 0.$

Với $B = 5C$, chọn $C = 1 \Rightarrow C = 5,A = 8$ nên $\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Ta có: $\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {OH} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ bằng $45^\circ .$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - 3} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {0;2; - 3} \right)$, $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)$.

Suy ra ${\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 3}\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&0\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 3;0} \right).$

$${\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&1\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3;2} \right).$$

$${\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&1\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right).$$

$${\overrightarrow n _{\left( {SAC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&0\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;0;0} \right).$$

a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

$$\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = 0.$$

Do đó, ý a đúng.

b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

$$\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 3.0 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{7}.$$

Do đó, ý b đúng.

c) Ta có: ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)$.

Cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng

$$\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( P \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.1 + 3.1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{11\sqrt 3 }}{{21}}.$$

Do đó, ý c sai.

d) Ta có:

$$\cos \left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| { - 6.0 + 0.0 + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = 0.$$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $90^\circ .$

Vậy ý d đúng.

Vậy có 3 mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$,

$\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$,

$\overrightarrow {SC} = \left( { - \frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right]$.

Ta có: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\1&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{1}{2}}&0\\{ - \frac{1}{2}}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right).$

Ta có: $\sin \left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {SD} ,{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}}} \right)} \right|$

$$= \frac{{\left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} + 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }}$$

$$= \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.$$

Suy ra $\widehat {\left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right)} \approx 28^\circ .$