Trắc nghiệm Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng: A

$\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b$ = (2.1 – 1; 2.2 + 3; 2.1 + 0) = (1; 7; 2).

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b + 2\overrightarrow c$ = (1 – 2 + 2.4; 2 – 2 + 2.0; 3 +1 + 2.(−4)) = (7; 0; −4).

Đáp án đúng: C

$\overrightarrow u = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 2\overrightarrow c$= (−1 – 3.(−1) + 2.2; −1 – 3.1 + 2.4; 2 – 3.(−1) + 2.7) = (6; 4; 19).

Đáp án đúng: B

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) + 1.0 = 10$.

Đáp án đúng: C

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.3 + 0.\left( { - 5} \right) + \left( { - 1} \right).6}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {6^2}} }} = 0$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng: C

Ta có $\overrightarrow {NM} = \left( {3;2; - 2} \right),\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;1} \right)$.

Để tam giác MNP vuông tại N thì $\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {NP} = 2.3 + 2.\left( {m - 2} \right) + \left( { - 2} \right).1 = 0$$\Leftrightarrow m = 0$.

Đáp án đúng: A

Gọi M(x; y; z).

Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right);\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x; - 3 - y;5 - z} \right)$.

Vì M thuộc đoạn AB và MA = 2MB nên $\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 2\left( {2 - x} \right)\\1 - y = - 2\left( { - 3 - y} \right)\\ - 2 - z = - 2\left( {5 - z} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\y = - \frac{5}{3}\\z = \frac{8}{3}\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {\frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)$.

Đáp án đúng: D

Vì M là trung điểm của BC nên $M\left( {\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{2 + 1}}{2};\frac{{3 + 0}}{2}} \right)$$\Rightarrow M\left( {1;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)$.

Suy ra $AM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$.

Đáp án đúng: A

Ta có: $\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right) \Rightarrow M\left( {1;5;2} \right)$, $\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right) \Rightarrow N\left( {3;7; - 4} \right)$.

Vì $P$ là điểm đối xứng với $M$qua $N$ nên $N$ là trung điểm của $MP$, ta suy ra được

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = {x_P} - {x_N}\\{y_N} - {y_M} = {y_P} - {y_N}\\{z_N} - {z_M} = {z_P} - {z_N}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 5\\{y_P} = 9\\{z_P} = - 10\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {5;9; - 10} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)$.

Hướng dẫn giải;

Đáp án đúng: D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 5 + 0}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{ - 1 + 0 + 4}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\end{array} \right.$

Vậy $G\left( {2;1;2} \right)$.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right)$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 2 + 0}}{3}\\{y_G} = \frac{{ - 2 + 1 + 3}}{3}\\{z_G} = \frac{{0 + \left( { - 2} \right) + 4}}{3}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = 1\\{y_G} = \frac{2}{3}\\{z_G} = \frac{2}{3}\end{array} \right.$$\Rightarrow G\left( {1;\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

c) Hình chiếu của B trên mặt phẳng Oxy là (2; 1; 0).

d) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2;6} \right)$.

$\overrightarrow x = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {BC}$ = (2.1 – 3.(−2); 2.3 – 3.2; 2.(−2) – 3.6) = (8; 0; −22).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {6;2; - 6} \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {15;3; - 3} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$$= \frac{{6.15 + 2.3 - 6.\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{114}}{{\sqrt {18468} }}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) \approx 33^\circ$.

c) Có $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \left( {21;5; - 9} \right)$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{21}^2} + {5^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2}} = \sqrt {547}$.

d) Điểm N thuộc đoạn AB thỏa mãn NA = 3NB nên $\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {NB}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - a = - 3\left( {1 - a} \right)\\ - b = - 3\left( {2 - b} \right)\\7 - c = - 3\left( {1 - c} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{5}{2}\end{array} \right.$. Do đó $a + b + c = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 3{,}5$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Chiều cao của căn phòng là AA' = 3 m.

b) Ta có B $\in$ Ox nên B(3; 0; 0).

c) A(0; 0; 0), $C\left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$; $\overrightarrow {AB} = \left( {3;0;0} \right)$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} = 6$; $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {0^2}} = 3$.

d) Ta có $A'\left( {0;0;3} \right)$; $C'\left( {3;3\sqrt 3 ;3} \right)$; $D\left( {0;3\sqrt 3 ;0} \right)$; $C\left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {A'C'} = \left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right)$; $\overrightarrow {DC} = \left( {3;0;0} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {DC} }}{{\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|}}$$= \frac{{3.3 + 3\sqrt 3 .0 + 0.0}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2}} }} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 60^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 - 2 + 4}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{0 + 3 - 6}}{3} = - 1\\{z_G} = \frac{{ - 2 + 4 + 1}}{3} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)$.

b) Do $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3;6} \right),\,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 6;3} \right).$

c) Do $AB = AC = 3\sqrt 6$ nên tam giác $ABC$ cân tại A.

d) Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$, vì $ABDC$ là hình bình hành nên

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left( { - 3;3;6} \right) = \left( {x - 4;y + 6;z - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {1; - 3;7} \right)$ .

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4\;;\;8\;;\; - 4} \right);\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 5\;;\;9\;;\;3} \right);\;\overrightarrow {BC} = \left( { - 9\;;\;1\;;\;7} \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4\;;\;8\;;\; - 4} \right);\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 5\;;\;9\;;\;3} \right)$.

Nhận thấy không tồn tại số $k$ nào để $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$. Suy ra $\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm $A,\;B,\;C$ không thẳng hàng.

c) Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4\;;\;8\;;\; - 4} \right) \Rightarrow AB = 4\sqrt 6 \\\overrightarrow {AC} = \left( { - 5\;;\;9\;;\;3} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {115} \\\overrightarrow {BC} = \left( { - 9\;;\;1\;;\;7} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {131} \end{array}$

Vậy chu vi của tam giác $ABC$ bằng: $4\sqrt 6 + \sqrt {115} + \sqrt {131}$.

d) Áp dụng công thức Hêrông, ta được: $S = 2\sqrt {590}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Theo đề ta có $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NP}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}200 = 2\left( {a - 800} \right)\\100 = 2\left( {b - 500} \right)\\10 = 2\left( {c - 30} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 900\\b = 550\\c = 35\end{array} \right.$.

Do đó a + b + c = 1485.

Trả lời: 1485.

Theo đề ta có $A\left( {4;0;3} \right);B\left( {0;3;\frac{5}{2}} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;3; - \frac{1}{2}} \right)$.

Do đó $a + b + c = - 1{,}5$.

Trả lời: −1,5.

Vì tọa độ điểm $A\left( {3;0;0} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {BA} = 3\,\overrightarrow i \,$

Vì tọa độ điểm $D\left( {3;1;0} \right)$$\Rightarrow \,\,\overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow i \,\, + \overrightarrow j$

Mà $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j - 3\overrightarrow i = \overrightarrow j$

Vì tọa độ điểm $B'\left( {0;0;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BB'} = 5\overrightarrow k$

Ta có $\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow j + 5\overrightarrow k \Rightarrow C'\left( {0;1;5} \right)$. Vậy ${m^2} + {n^2} + {p^2} = 26$.

Trả lời: 26.

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow OA = 3$; $\overrightarrow {OB} = \left( {0; - 4;0} \right) \Rightarrow OB = 4$; $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = 5$.

$\Delta OAB$ vuông tại $O$, nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

${S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.3.4 = 6$; $p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6$$\Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = 1$.

$\Rightarrow I\left( { - 1; - 1;0} \right)$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta OAB$.

Do $\Delta OAB$ vuông tại $O$ nên $J$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow J\left( { - \frac{3}{2}; - 2;0} \right)$.

$\overrightarrow {IJ} = \left( { - \frac{1}{2}; - 1;0} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \approx 1{,}12$.

Trả lời: 1,12.

$\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 1;3} \right)$;$\overrightarrow {BH} \left( {{x_0};{y_0} - 2;{z_0}} \right)$

Vì $B,C,H$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {BH} = t\overrightarrow {BC}$, $t \in \mathbb{R}$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = t\\{y_0} - 2 = - t\\{z_0} = 3t\end{array} \right.$ $\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Nên $H\left( {t;2 - t;3t} \right) \in BC$.

Khi đó: $\overrightarrow {AH} = \left( {t - 2;2 - t;3t} \right)$.

Mà $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống $BC$ nên

$\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow t - 2 - 2 + t + 9t = 0$$\Leftrightarrow t = \frac{4}{{11}}$.

$\Rightarrow H\left( {\frac{4}{{11}};\frac{{18}}{{11}};\frac{{12}}{{11}}} \right) \Rightarrow$${x_0} + {y_0} + {z_0} = \frac{{34}}{{11}} \approx 3{,}09$.

Trả lời: 3,09.