Trắc nghiệm Bài tập cuối chương VII lớp 10 (có đáp án - phần 2)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên M(−1; 4) và N(4; −1)

Ta có : $\overrightarrow{MN}=(5;-5)$

Đường trung bình MN đi qua điểm M(−1; 4) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}\overrightarrow{MN}=(1;-1)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình đường thẳng MN: $\{\begin{matrix}x=-1+t \\ y=4-t\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Lí thuyết: Phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R là:

(x − a)$^{2}$ + (y − b)$^{2}$ = R$^{2}$

Vậy với phương trình (x + 1)$^{2}$ +(y −$\sqrt{2}$)$^{2}$ = 8 có a = −1;b = $\sqrt{2}$ nên I(−1;$\sqrt{2}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2)$. Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u}=(2;-1)$.

Chọn x = 1 ⇒ y = – 3. Ta có điểm M(1; – 3) là điểm thuộc đường thẳng ∆.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: $\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=-3-t\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn: x$^{2}$ + y$^{2}$ = 9 có bán kính R = $\sqrt{9}$ = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường thẳng (d): 2x + 3y – 4 = 0

⇒ Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;3)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ lần lượt có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{{n}_{1}}({a}_{1};{b}_{1})$ và $\overrightarrow{{n}_{2}}({a}_{2};{b}_{2})$

Góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$được xác định bởi:

cos(d$_{1}$; d$_{2}$) = $|\cos (\overrightarrow{{n}_{1}};\overrightarrow{{n}_{2}})|$ = $\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}.\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|.|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$ = $\frac{|{a}_{1}{a}_{2}+{b}_{1}{b}_{2}|}{\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}.\sqrt{{{a}_{2}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ∆ có phương trình: 3x – 4y + 5 = 0 ⇔ 4y = 3x + 5 ⇔ y = $\frac{3}{4}$x + $\frac{5}{4}$.

Khi đó hệ số góc k của đường thẳng ∆ là: $k=\frac{3}{4}$. Do đó C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi a$^{2}$ + b$^{2}$− c > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d$_{1}$ có $\overrightarrow{{u}_{1}}(4;-6)$ và A(−3; 2) ∈ d$_{1}$

Đường thẳng d$_{2}$ có $\overrightarrow{{u}_{2}}(-2;3)$

Ta có: $\overrightarrow{{u}_{1}}$= −2.$\overrightarrow{{u}_{2}}$ nên $\overrightarrow{{u}_{1}}$ và $\overrightarrow{{u}_{2}}$ là hai vectơ cùng phương . Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác, thay điểm A(−3; 2) vào phương trình đường thẳng d$_{2}$ ta có: $\{\begin{matrix}-3=1-2t' \\ 2=4+3t'\end{matrix}$⇒ $\{\begin{matrix}-3=1-2t' \\ 2=4+3t'\end{matrix}$ ⇔$\{\begin{matrix}t'=2 \\ t'=\frac{-2}{3}\end{matrix}$ (không thoả mãn)

Do đó điểm A thuộc d$_{1}$ nhưng không thuộc d$_{2}$.

Vậy d$_{1}$ song song với d$_{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$

Toạ độ điểm A thoả mãn hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-3y+4=0 \\ 2x+3y-1=0\end{matrix}$

⇒$\{\begin{matrix}x=-1 \\ y=1\end{matrix}$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:

d(A; ∆) = $\frac{|3.(-1)+1+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}$ = $\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ lần lượt là: ;

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$

Ta có: cos α = $\frac{|2.1+(-1).(-3)|}{\sqrt{{2}^{2}+{(-1)}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{(-3)}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

⇒ α = 45$^{°}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bán kính đường tròn (C) là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ nên

R = d(I; ∆) = $\frac{|-1-4-7|}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = $\frac{4}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC nên ta có:

$\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{{x}_{B}+{x}_{C}}{2} \\ {y}_{M}=\frac{{y}_{B}+{y}_{C}}{2}\end{matrix}$ ⇒$\{\begin{matrix}{x}_{M}=\frac{1+(-5)}{2}=-2 \\ {y}_{M}=\frac{(-2)+4}{2}=1\end{matrix}$⇒ M(−2;1)

Suy ra $\overrightarrow{AM}=(0;-2)$

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến AM đi qua điểm A và nhận vectơ $\overrightarrow{AM}$ làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{matrix}x=-2 \\ y=3-2t\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-2;1)$

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$ là một vectơ chỉ phương , do đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là : $\overrightarrow{n}=(1;2)$ và đi qua điểm C(0; -1).

Phương trình đường thẳng BC là: x + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y + 2 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC

⇒ d(A; BC) = $\frac{|2+2.(-1)+2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$= $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tâm I là trung điểm của đường kính AB nên toạ độ điểm I là:$\{\begin{matrix}x=\frac{-2+4}{2}=1 \\ y=\frac{1+1}{2}=1\end{matrix}$

⇒ I(1; 1)

R = IA = $\sqrt{{(1+2)}^{2}+{(1-1)}^{2}}$ = 3

Vậy phương trình đường tròn là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 9

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x – 2y – 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow{AB}(1;4)$

Phương trình đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}(1;4)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{{n}_{AB}}$(4; – 1) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\overrightarrow{CD}(-4;-1)$

Phương trình đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{CD}(-4;-1)$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{{n}_{CD}}$(1; – 4) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{-1}{-4}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{{n}_{AB}}$ và $\overrightarrow{{n}_{CD}}$ không cùng phương nên hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại một điểm.

Ta lại có: $\overrightarrow{{n}_{AB}}.\overrightarrow{{n}_{CD}}$ = 4.1 + (– 1)(– 4) = 8 ≠ 0 nên AB và CD không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix}7x-3y+16=0 \\ x+10=0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x=-10 \\ y=-18\end{matrix}$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là: (−10; −18).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d là:

R = d(A,d) = $\frac{|3.7-4.4+8|}{\sqrt{{3}^{2}+{(-4)}^{2}}}=\frac{13}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để điểm A thuộc đường tròn (C) thì

2$^{2}$ + (−3)$^{2}$ – 2.(m + 2) – (− 3)(m + 4) + m + 1 = 0

⇔ 4 + 9 – 2m – 4 + 3m + 12 + m + 1 = 0

⇔ 2m + 22 = 0

⇔ m = −11.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của elip có dạng : $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ với a > b > 0

Vì M ∈ (E) nên $\frac{{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{3}^{2}}{{b}^{2}}=1$⇒ b$^{2}$ = 9

Mặt khác, N ∈ (E) nên $\frac{{3}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{(\frac{-12}{5})}^{2}}{9}=1$ hay $\frac{{3}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{16}{25}=1$

⇔ $\frac{{3}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$⇒ a$^{2}$ = 25

Vậy phương trình elip là : $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình (1) có : a = m; b = 2(m – 2); c = 6 – m

Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a$^{2}$ + b$^{2}$ – c > 0

⇔ m $^{2}$ + 4(m – 2)$^{2}$ – (6 – m) > 0

⇔ 5m $^{2}$– 15m + 10 > 0

⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình chính tắc của parabol có dạng: y$^{2}$ = 2px

Vì M ∈ (P) nên 4 = 2p.1 hay 4 = 2p ⇒ p = 2

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y$^{2}$ = 4x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn (C) có tâm I(3; 0) và bán kính R = $\sqrt{{3}^{2}+{0}^{2}-5}$= 2

Để ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì d(I; ∆) = R

⇔ $\frac{|3m-2|}{\sqrt{{(m-1)}^{2}+{m}^{2}}}=2$

⇔ $|3m-2|=2\sqrt{{(m-1)}^{2}+{m}^{2}}$

⇔ $9{m}^{2}-12m+4=4({m}^{2}-2m+1+{m}^{2})$

⇔ ${m}^{2}-4m=0$

⇔ $[\begin{matrix}m=0 \\ m=4\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay lần lượt toạ độ các điểm A; B; C; D vào phương trình hypebol ta thấy:

Điểm A(0; 3) không thuộc hypebol vì: $\frac{{0}^{2}}{25}-\frac{{3}^{2}}{9}=-1\ne 1$;

Điểm B(2; 1) không thuộc hypebol vì: $\frac{{2}^{2}}{25}-\frac{{1}^{2}}{9}=\frac{11}{225}\ne 1$;

Điểm C(5; 0) thuộc hypebol vì: $\frac{{5}^{2}}{25}-\frac{{0}^{2}}{9}=1$;

Điểm D(8; 4) không thuộc hypebol vì: $\frac{{8}^{2}}{25}-\frac{{4}^{2}}{9}=\frac{176}{225}\ne 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do M ∈ d nên M(t; 1 + 2t)

Theo giả thiết M cách đều hai điểm A, B nên MA = MB

⇔ $\sqrt{{(t+2)}^{2}+{(2t-1)}^{2}}$ = $\sqrt{{(t-4)}^{2}+{(2t+7)}^{2}}$

⇔ ${(t+2)}^{2}+{(2t-1)}^{2}$ = ${(t-4)}^{2}+{(2t+7)}^{2}$

⇔ t$^{2}$ + 4t + 4 + 4t$^{2}$ – 4t + 1 = t$^{2}$ – 8t + 16 + 4t$^{2}$ + 28t + 49

⇔ 5t +15 = 0

⇔ t = −3

Với t = −3 thì M(−3; −5).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì B(x$_{1}$; y$_{1}$) ∈ d$_{1}$ ⇒ B(– 5 – y$_{1}$; y$_{1}$)

Tương tự ta có: C( 7 – 2y$_{2}$; y$_{2}$)

Vì tam giác ABC nhận điểm G(2; 0) là trọng tâm nên

$\{\begin{matrix}{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}=3{x}_{G} \\ {y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}=3{y}_{G}\end{matrix}$

⇒$\{\begin{matrix}2+(-5-{y}_{1})+(7-2{y}_{2})=6 \\ 3+{y}_{1}+{y}_{2}=0\end{matrix}$

⇔$\{\begin{matrix}{y}_{1}+2{y}_{2}=-2 \\ {y}_{1}+{y}_{2}=-3\end{matrix}$

⇒$\{\begin{matrix}{y}_{1}=-4 \\ {y}_{2}=1\end{matrix}$

⇒$\{\begin{matrix}{x}_{1}=-1 \\ {x}_{2}=5\end{matrix}$

Vậy T = (− 1).5 + (−4).1= −9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 9x$^{2}$ + 16y$^{2}$ = 144 ⇔ $\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$. Khi đó: a = 4; b = 3; c = $\sqrt{7}$.

⇒ F$_{1}$ (−$\sqrt{7}$;0); F$_{2}$ ($\sqrt{7}$; 0); F$_{1}$F$_{2}$= 2c = 2$\sqrt{7}$; MF$_{1}$ + MF$_{2}$ = 8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MF$_{1}$F$_{2}$ ta có:

F$_{1}$F$_{2}$$^{2}$ = MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ − 2MF$_{1}$. MF$_{2}$. cos$\widehat{{F}_{1}M{F}_{2}}$

⇔ 28 = MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ − 2MF$_{1}$. MF$_{2}$. cos60º

⇔ 28 = MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ − MF$_{1}$. MF$_{2}$

⇔ MF$_{1}$$^{2}$ + MF$_{2}$$^{2}$ + 2MF$_{1}$. MF$_{2}$− 3MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 28

⇔ (MF$_{1}$ + MF$_{2}$)$^{2}$− 3MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 28

⇔ 64 − 3MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 28

⇔ MF$_{1}$. MF$_{2}$ = 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ nên toạ độ điểm A thoả mãn:

$\{\begin{matrix}2x+y-1=0 \\ x+2y+1=0\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=-1\end{matrix}$⇒ A(1; –1)

Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi d$_{3}$ cũng đi qua điểm A hay A ∈ d$_{3}$

⇒ m.1 – (–1) – 7 = 0

⇔ m = 6.

Vậy với m = 6 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của (P) có dạng: y$^{2}$ = 2px (p > 0)

Vì (P) có đường chuẩn ∆ : x + 4 = 0 hay x = −4 ⇒ $\frac{-p}{2}=-4$ ⇔ p = 8

Do đó phương trình chính tắc của (P) là: y$^{2}$ = 16x

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$). Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M; ∆) = MF = 5

⇔ $\frac{|{x}_{0}+4|}{\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}}}=5$

⇔ $|{x}_{0}+4|=5$

⇔ $[\begin{matrix}{x}_{0}+4=5 \\ {x}_{0}+4=-5\end{matrix}$

⇔ $[\begin{matrix}{x}_{0}=1 \\ {x}_{0}=-9\end{matrix}$

Với x$_{0}$ = – 9 ta có: y$_{0}$$^{2}$ = 16 .(– 9) = – 144 (vô lí)

Với x$_{0}$ = 1 ta có: y$_{0}$$^{2}$ = 16.1 = 16 ⇔ $[\begin{matrix}{y}_{0}=-4 \\ {y}_{0}=4\end{matrix}$

Vậy M (1; 4) hoặc M(1; – 4).