Trắc nghiệm Bài tập cuối chương VII lớp 10 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,$ có độ dài trục lớn ${A_1}{A_2} =$ 2a và độ dài trục bé là ${B_1}{B_2} =$2b. Khi đó, xét $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + {y^2} = 4$$\Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 64\\{b^2} = 4\end{array} \right.$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}a=8 \\ b=2\end{matrix}$

$\Rightarrow \ {A}_{1}{A}_{2}+{B}_{1}{B}_{2}=2.a+2.b=2.8+2.2=20.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {OM} = \left( {a;b} \right)$$\Rightarrow$ đường thẳng OM có VTCP: $\vec u = \overrightarrow {OM} = \left( {a;b} \right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}3x - 6y + 3 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$-7 = 0 (vô lý)

Suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm

Vì vậy hai đường thẳng song song.

Đáp ứng đúng là: B

Ta có: $d \bot Oy:x = 0 \to {\vec u_d} = \left( {1;0} \right)$, mặt khác $M\left( {6; - 10} \right) \in d$

Phương trình tham số $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = - 10\end{array} \right.$, với t = -4 ta được $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 10\end{array} \right.$

hay A (2; -10) $\in$d $\to d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 10\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x + \sqrt 3 y = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\\{d_2}:x + 10 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {1;0} \right)\end{array} \right.$${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \varphi = \frac{{\left| {1 + 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {1 + 0} }} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \varphi = {60^ \circ }.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x - 2y - 6 = 0\\{d_2}:6x - 2y - 8 = 0\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y - 6 = 0\\6x - 2y - 8 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 6\\3x = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = - 2\end{array} \right.$

Suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm.

Ta lại có: d$_{1}$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}$ = (3; -2) và d$_{2}$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}}$= (6; -2).

$\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}$ = 3.6 + (-3).(-2) = 18 + 6 = 24 ≠ 0. Do đó d$_{1}$ và d$_{2}$ không vuông góc.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Đáp án đúng là : D

Ta có: Vectơ chỉ phương của AB là ${\vec u_{AB}} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;6} \right) \to {\vec n_{AB}} = \left( {3;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng qua hai điểm A, B.

Mặt khác A (3; -1) $\in AB$, suy ra: $AB:3\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0$ hay $AB:3x + y - 8 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Cho ${F_1},{\rm{ }}{F_2}$ cố định với ${F_1}{F_2} =$ 2c (c > 0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a$ với a là một số không đổi và a < c.

Đáp án đúng là: C

+) Giao điểm của hai đường thẳng:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.$, vậy điểm A (-1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng

+) Khoảng cách từ A đến $\Delta$: 3x + y + 4 = 0:

$d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) + 1.1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

Vậy khoảng cách giữa giao điểm của hai đường thẳng đến đường thẳng ∆ là $\frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng – x + 2y + 3 = 0 nên có VTCP là: $\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)$.

Do đó phương trình tham số của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và nhận $\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{y^2} = 2px$

$\Rightarrow p = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow$ Phương trình đường chuẩn là $x = - \frac{p}{2}$=$- \frac{3}{8}$ .

Đáp án đúng là: A.

Thay tọa độ điểm M lần lượt vào các phương trình đường thẳng, ta thấy:

+) ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}1 = 3 + 2t\\ - 1 = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\end{array} \right.$ (luôn đúng). Do đó điểm M thuộc đường thẳng d$_{1}$.

+) ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}1 = - t\\ - 1 = - 2 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.$(vô lí). Do đó điểm M không thuộc đường thẳng d$_{2}$.

+) ${d_3}:\left\{ \begin{array}{l}1 = 3 + t\\ - 1 = - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 2\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right.$(vô lí). Do đó điểm M không thuộc đường thẳng d$_{3}$.

+) ${d_4}:\left\{ \begin{array}{l}1 = 3t\\ - 1 = - 2\end{array} \right.$(vô lí). Do đó điểm M không thuộc đường thẳng d$_{4}$.

Vậy điểm M thuộc vào đường thẳng d$_{1}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: Bán kính của đường tròn R = OI = $\sqrt {{{(1 - 0)}^2} + {{( - 5 - 0)}^2}} = \sqrt {26}$

Phương trình đường tròn$\left( C \right):\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1; - 5} \right)\\R = OI = \sqrt {26} \end{array} \right.$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 26$

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của A và B, ta có: M $\left( {\frac{{1 + 3}}{2};\frac{{3 + ( - 1)}}{2}} \right)$= (2; 1).

Đường tròn (C) có tâm I (-2; -2) nên tiếp tuyến tại M có VTPT là $\vec n = \overrightarrow {IM} = \left( {4;3} \right)$ nên có phương trình là: 4.(x – 2) + 3.(y – 1) = 0$\Leftrightarrow$4x + 3y – 11 = 0.

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là: $d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:

$d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) - 4.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{{10}}{5} =$2.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 2.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5$ $\Rightarrow I\left( {0; - 4} \right),\,R = \sqrt 5$

⇒ a = 0, b = -4

⇒ S = 2a + b = 2.0 + (-4) = -4.

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,$ có độ dài trục lớn ${A_1}{A_2} =$ 2a.

Xét $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\,\,$$\Rightarrow \,\,{A_1}{A_2} = 2.5 = 10$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 5 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\\{d_2}:y - 6 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {0;1} \right)\end{array} \right.$${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \varphi = \frac{{\left| {\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {0 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {30^ \circ }.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16$$\Rightarrow$Tâm I (1; -3), bán kính R = $\sqrt {16}$= 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36$$\Leftrightarrow$$\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1$

$\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 5 \end{array} \right.$

Do đó, (E) có tiêu cự bằng 2.c = $2\sqrt 5$, trục lớn bằng 6, trục bé bằng 4, tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}.$

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm I (1; 2), bán kính R = 3 có phương trình là:

$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 4 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,$ có độ dài trục bé B$_{1}$B$_{2}$ = 2b.

Xét $\left( E \right):4{x^2} + 16{y^2} = 1$$\Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} = 1$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{1}{4}\\{b^2} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.$$\Rightarrow b = \frac{1}{4}\,$$\Rightarrow \,\,\,{B_1}{B_2} = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: B

+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC

- Ta có: B(1; 5); C(3; 1)$\Rightarrow$$\overrightarrow {BC}$= (2; -4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow n$= (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow n \bot \overrightarrow {BC}$), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay

2x + y – 7 = 0

- Độ dài BC: BC = $\sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {20}$$= 2\sqrt 5$.

+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:

${h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.( - 4) - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5$.

+) Diện tích tam giác ABC:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{h_A}.BC$ = $\frac{1}{2}.\sqrt 5 .2\sqrt 5$ = 5.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (C) có tâm I (1; -2) nên tiếp tuyến tại A có VTPT là

$\vec n = \overrightarrow {IA} =$(2; -2) = 2(1; -1)

Nên có phương trình là: 1(x - 3) - 1.(y + 4) = 0$\Leftrightarrow$x - y - 7 = 0

Đáp án đúng là: B

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(-2; -2), R = $\sqrt 5$và tiếp tuyến có dạng

$\Delta$: 2x – y + c = 0 (c ≠ -18)

Bán kính đường tròn: $R = d\left( {I;\Delta } \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5$

$\Leftrightarrow \left| {c - 2} \right| = 5$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 2 = 5\\c - 2 = - 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 3\end{array} \right.$

suy ra: $\Delta$:2x – y + 7 = 0 hoặc $\Delta$: 2x – y – 3 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:7x - 3y + 6 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {7; - 3} \right)\\{d_2}:2x - 5y - 4 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {2; - 5} \right)\end{array} \right.$ ${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \varphi = \frac{{\left| {14 + 15} \right|}}{{\sqrt {49 + 9} .\sqrt {4 + 25} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$\Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{4}.$

Đáp án đúng là : D

Vì điểm A thuộc vào đường thẳng đã cho nên thay tọa độ điểm A vào phương trình ta được :

3.3 + (-1) – 2c = 0

⇔ 8 – 2c = 0

⇔ c = 4. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là : D

Phương trình đoạn chắn đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 5;0} \right) \in Ox\\B\left( {0;2} \right) \in Oy\end{array} \right.$.

$\Rightarrow$Phương trình đường thẳng:$\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow$2x – 5y + 10 = 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right.$ ${\vec n_1}$; ${\vec n_2}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${d_1}$; ${d_2}$. Nhận thấy ${\vec n_1} \cdot {\vec n_2}$ = 6.5 + 6.(-5) = 0 suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau nên $\varphi = {90^ \circ }.$