Trắc nghiệm Bài tập cuối chương IV lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn B

$I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx}$$= \int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 2}^5 {g\left( x \right)dx} = 8 - 3 = 5$.

Chọn A

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 7 - 1 = 6$.

Chọn D

$\int {3{x^2}dx}$$= {x^3} + C$.

Chọn C

Có $F'\left( x \right) = 2x + 1$.

Do đó $F\left( x \right) = {x^2} + x$ là một nguyên hàm của hàm $f\left( x \right) = 2x + 1$.

Chọn C

Diện tích hình phẳng cần tìm là $S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx}$.

Chọn A

$\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx}$$= \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^e = 1$.

Chọn C

$I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{3}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left[ {2x - 3\ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_1^3 = 6 - 3\ln 4 - 2 + 3\ln 2 = 4 - 3\ln 2$.

Suy ra $a = 4;b = 3$.

Do đó $a + b = 7$.

Chọn A

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\frac{3}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \left. {3\cot x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{2\pi }}{3}} = \sqrt 3 + 3$.

Suy ra $a = 3;b = 1$. Do đó ${a^2} + {b^2} = 10$.

Chọn B

Ta có $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx}$.

Chọn B

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x - {e^x}} \right)dx} = {x^2} - {e^x} + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow C = - 1$.

Do đó $F\left( x \right) = {x^2} - {e^x} - 1$.

Chọn B

Ta có $V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_0^1 {{x^2}\left( {8 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{8{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{37\sqrt 3 }}{{60}}$.

Chọn B

Ta có $V = \pi \int\limits_2^7 {\left( {9x + 7} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{{9{x^2}}}{2} + 7x} \right)} \right|_2^7 = \frac{{475\pi }}{2}$.

a) $\int\limits_0^{ - 3} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = 2024$.

b) $\int\limits_{ - 3}^0 { - 3g\left( x \right)dx} = - 3\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = - 3.\left( { - 2025} \right) = 6075$.

c) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right) + 1} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} + \left. x \right|_{ - 3}^0 = - 2024 + 2025 + 3 = 4$.

d) $\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {mf\left( x \right) - ng\left( x \right)} \right]dx} = 2026\\\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - nf\left( x \right) + mg\left( x \right)} \right]dx} = 2023\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} - n\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = 2026\\ - n\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + m\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = 2023\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2024m + 2025n = 2026\\2024n - 2025m = 2023\end{array} \right.$$\Rightarrow m + n = 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Có $g\left( x \right) = F'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x$.

Mà $g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4x$ $\Rightarrow f'\left( x \right) = g\left( x \right) + 4x = 4{x^3}$.

b) $\int {g\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$.

c) $\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

d) Có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ có đúng một điểm cực trị.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Có $f'\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}} = g\left( x \right)$.

Do đó f(x) là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{6}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C$.

c) Có $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)$$\Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$.

d) $G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln x + {C_1}\;\;khi\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left( { - x} \right) + {C_2}\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.$.

Ta có $G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Rightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}$.

Có $G\left( 2 \right) + G\left( { - 1} \right) = 5$$\Leftrightarrow 12 - 6\ln 2 - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 6\ln 2 - 1$.

Khi đó $G\left( { - 6} \right) = \frac{{36}}{2} - 30 - 6\ln 6 + 6\ln 2 - 1 = - 13 - 6\ln 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^5 = f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)$.

b) $\int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^3 = f\left( 3 \right) - f\left( 2 \right) = - 1 - 0 = - 1$.

c) Có $S = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_2^3 = - f\left( 3 \right) + f\left( 2 \right) = 1 + 0 = 1$.

d) $\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}$$= - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_3^5 {f'\left( x \right)dx}$$= 1 + \left. {f\left( x \right)} \right|_3^5 = 1 + f\left( 5 \right) - f\left( 3 \right) = 2 + f\left( 5 \right)$.

Mà $\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5$$\Leftrightarrow 2 + f\left( 5 \right) = 5 \Rightarrow f\left( 5 \right) = 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) $\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{2}$.

b) ${V_1} = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{3}$.

c) ${V_2} = \pi \int\limits_0^2 {0,{7^{2x}}dx} = \pi \int\limits_0^2 {0,{{49}^x}dx = \left. {\frac{{\pi 0,{{49}^x}}}{{\ln 0{,}49}}} \right|} _0^2 \approx 3{,}3$.

d) $V = {V_1} + {V_2} \approx 4{,}4$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Vật dừng lại khi v(t) = 0 $\Leftrightarrow 160 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 16$.

Quãng đường vật đi được cho tới khi dừng lại là $S = \int\limits_0^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt} = \left. {\left( {160t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^{16} = 1280$m.

Trả lời: 1280.

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{a}{x} + b\ln x + 2x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1$$= a + 1 + b\ln 2$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 2\\b = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right.$. Do đó $T = a + b = - 2$.

Trả lời: −2.

Có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

$F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}$$= \left( {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right){e^x}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\b + c = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.$.

Vậy $S = a + b + c = 2$.

Trả lời: 2.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho A ≡ O.

Suy ra cạnh cong AE nằm trên parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$.

$\left( P \right)$ đi qua các điểm $\left( {0;0} \right),\left( {2;1} \right),\left( {4;\frac{7}{2}} \right)$ nên $\left( P \right):y = \frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x$.

Khi đó diện tích tam giác cong ACE có diện tích $S = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x} \right)} dx = 5$ m2.

Vậy thể tích của khối bê tông cần sử dụng là V = 5.4 = 20 m3.

Trả lời: 20.

Đưa hình vẽ về dạng của hàm số $y = a\sqrt x$

Chọn hệ trục Oxy với Ox đi qua chính giữa trục của mảnh đất (theo chiều của chiều cao), gốc tọa độ O cách điểm chính giữa của đoạn AB là 4, khi đó ta có ${y_B} = 4;{y_C} = 6$ nên B(4; 4), C(9; 6).

Do đó ta tìm được a = 2.

Suy ra $S = 2\int\limits_4^9 {2\sqrt x dx} = \frac{{152}}{3} \approx 50{,}7$.

Trả lời: 50,7.