Trắc nghiệm Bài tập cuối chương II lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng: B

Theo quy tắc hình hộp $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$ mà O là trung điểm của AC' nên $\overrightarrow {AC'} = 2\overrightarrow {AO}$.

Do đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {AO}$$\Rightarrow \overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$.

Đáp án đúng: C

Ta có 3 vectơ: $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD}$.

Đáp án đúng: D

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$= - 2.2.\cos 60^\circ = - 2$.

Đáp án đúng: C

$- 3\overrightarrow u = \left( { - 3;3; - 9} \right)$.

Đáp án đúng: B

$\overrightarrow {OA} = \left( {3; - 1;5} \right)$.

Đáp án đúng: B

$\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; - 2 - 1;4 + 3} \right) = \left( {0; - 3;7} \right)$.

Đáp án đúng: D

Ta có$\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;5} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {6;0; - 4} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 2.6 + \left( { - 3} \right).0 + 5.\left( { - 4} \right) = - 8$.

Đáp án đúng: A

Ta có: $A$ nằm trên tia $Oy$ và $OA = 3$ nên $\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow j$ suy ra $A\left( {0;\,3;\,0} \right)$.

Đáp án đúng: C

${M_1}\left( { - 1;0;0} \right),{M_2}\left( {0;2;0} \right),{M_3}\left( {0;0; - 3} \right)$lần lượt là hình chiếu của $M$ trên các trục $Ox\,,\,Oy\,,\,Oz$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = {x_{{M_1}}} = - 1\\{y_M} = {y_{{M_1}}} = 2\\{z_M} = {z_{{M_1}}} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng: D

Ta có: $I\left( { - 5;0;5} \right)$ là trung điểm của đoạn $MN$ nên ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2\left( { - 5} \right) - 1\\{y_N} = 2.0 - \left( { - 4} \right)\\{z_N} = 2.5 - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = - 11\\{y_N} = 4\\{z_N} = 3\end{array} \right.$. Suy ra $N\left( { - 11;4;3} \right)$.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

b) Ta có $\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AM}$$= \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM}$$= \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {MC}$$= \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM}$.

c) $\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} } \right).\overrightarrow {AC}$$= \overrightarrow {A'A} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {AC}$

$= - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CA}$$= \left| {\overrightarrow {AB} .} \right|\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \left| {\overrightarrow {CM} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {CA} } \right)$

$= {a^2}.\cos 60^\circ + \frac{{{a^2}}}{2}.\cos 60^\circ = \frac{{3{a^2}}}{4}$.

d) Ta có $\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CC'}$

$= - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BB'}$

$= - \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + {\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|^2}$

$= - {a^2}.\cos 60^\circ + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}$

$= - \frac{{{a^2}}}{2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}$$= \frac{{3{a^2}}}{2}$.

Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3 .a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}$$\Rightarrow \overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}$

b) $\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}$,$\overrightarrow {AM} = \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}$$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}$

c) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})$$= \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}$$= \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}$

d) $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$,$\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}$

Vậy $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4})$

$$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}$$

$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0$ .

Vậy góc giữa vectơ $\overrightarrow {AH}$ và $\overrightarrow {BC}$ bằng $90^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)$, $\overrightarrow {DC} = \left( {11 - x;10 - y;4 - z} \right)$.

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = 11 - x\\ - 4 = 10 - y\\ - 1 = 4 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\\z = 5.\end{array} \right.$

Vậy $D\left( {16;14;5} \right)$.

b) Tọa độ trung điểm $M$ của $BC$ là $M\left( {7;\frac{{15}}{2};\frac{5}{2}} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)$. Suy ra $AM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)$.

Ta có $\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $\widehat {BAC} = 150^\circ$.

d) Vì $N \in \left( {Oxy} \right)$ nên $N\left( {x;y;0} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)$; $\overrightarrow {AN} = \left( {x - 8;y - 9; - 2} \right)$.

Vì 3 điểm $A,B,N$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với $\overrightarrow {AN}$. Khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 5}} = 2\\\frac{{y - 9}}{{ - 4}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 = - 10\\y - 9 = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right.$. Vậy $N\left( { - 2;1;0} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4; - 2} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 6;5} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left( { - 3} \right).6 + 4.\left( { - 6} \right) + \left( { - 2} \right).5 = - 52$.

b) $\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$$= \frac{{52}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {5^2}} }}$$= \frac{{52}}{{\sqrt {2813} }} > 0$.

Suy ra $\widehat {ABC}$ là góc nhọn.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;4; - 2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3; - 4;5} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {DC}$.

Do đó ABCD không là hình bình hành.

d) Ta có $\overrightarrow {BE} = \left( {2; - 1;x + 1} \right)$.

Để ABE vuông tại B thì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BE} = 0$$\Rightarrow - 6 - 4 - 2\left( {x + 1} \right) = 0 \Rightarrow x = - 6$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) A(3; 0; 0) $\in$ Ox.

b) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2;0} \right)$.

c) Ta có A $\in$ Ox; B $\in$ Oy nên tam giác OAB vuông tại O.

Diện tích tam giác OAB bằng $S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 3$.

d) Ta có A $\in$ Ox; B $\in$ Oy; C $\in$ Oz nên tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc.

Suy ra ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.1 = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của M trên đường thẳng AB.

Khi đó mind(M, AB) = MH.

Ta có $\overrightarrow {MH} = \left( {x - 40;y - 10;z - 40} \right)$, $\overrightarrow {AH} = \left( {x;y - 10;z} \right)$, $\overrightarrow {AB} = \left( {20; - 10;10} \right)$.

Vì MH  AB và vectơ $\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương nên

$\left\{ \begin{array}{l}20\left( {x - 40} \right) - 10\left( {y - 10} \right) + 10\left( {z - 40} \right) = 0\\\frac{x}{{20}} = \frac{{y - 10}}{{ - 10}} = \frac{z}{{10}}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y + z - 110 = 0\\x = 2z\\y = 10 - z\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = - 10\\z = 20\end{array} \right.$.

Suy ra $H\left( {40; - 10;20} \right) \Rightarrow MH = 20\sqrt 2 \approx 28{,}3$.

Trả lời:28,3.

Gọi N(x; y; z).

Ta có $\overrightarrow {MQ} = \left( {400;200;2} \right)$; $\overrightarrow {NQ} = \left( {1400 - x;800 - y;16 - z} \right)$.

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow {MQ}$ và $\overrightarrow {NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M đến Q gấp 4 lần thời gian bay từ N đến Q nên MQ = 4NQ.

Suy ra $\overrightarrow {MQ} = 4\overrightarrow {NQ}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}400 = 4\left( {1400 - x} \right)\\200 = 4\left( {800 - y} \right)\\2 = 4\left( {16 - z} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1300\\y = 750\\z = 15{,}5\end{array} \right.$$\Rightarrow N\left( {1300;750;15{,}5} \right)$.

Tổng hoành độ và tung độ của điểm N là: 1300 + 750 = 2050.

Trả lời:2050.

Cả hai lực tạo với nhau một góc 80° là $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$, ta có $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50N$.

Lực còn lại là $\overrightarrow {{F_3}}$, ta có $\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 60N$.

Gọi $\overrightarrow F$ là hợp lực của ba lực trên ta có:

$\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2} + 2\left( {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right)}$

$= \sqrt {{{50}^2} + {{50}^2} + {{60}^2} + 2\left( {50.50.\cos 80^\circ + 50.60.\cos 60^\circ + 60.50.\cos 60^\circ } \right)} \approx 124$ N.

Trả lời: 124.

Theo giả thiết, ra đa ở vị trí có tọa độ B(0; 0; 0,08); điểm A(−300; −200; 10).

Vậy khoảng cách từ máy bay đến ra đa là:

$BA = \sqrt {{{\left( { - 300 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 200 - 0} \right)}^2} + {{\left( {10 - 0{,}08} \right)}^2}} \approx 361$ km.

Trả lời: 361.

Ta có: $P = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right|$.

Vẽ hình vuông $OAEB$, ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE}$. (Quy tắc hình bình hành)

Vẽ hình chữ nhật $OCFE$, ta có $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF}$. (Quy tắc hình bình hành)

Suy ra: $P = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF$.

Xét hình vuông $OAEB$, cạnh $16$, có đường chéo $OE = 16\sqrt 2$.

Xét tam giác vuông $OEF$, vuông tại $E$, có $OF = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}} = \sqrt {{{\left( {16\sqrt 2 } \right)}^2} + {{16}^2}} = 16\sqrt 3 \approx 27{,}7$

Vậy $P \approx 27{,}7$(N).

Trả lời: 27,7.