Trắc nghiệm Bài tập cuối chương II lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

D

Với ∀ n$\in$ ℕ$^{*}$, −1 $\le$ sinn $\le$ 1.

A

Ta có $n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1 = \frac{{1000 - 8}}{4} + 1 = 249$.

D

Tổng S$_{1}$ = 2 + 2$^{2}$ + ...+ 2$^{10}$ là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với u$_{1}$ = 2; q = 2.

Do đó ${S_1} = \frac{{2\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2046$.

Vậy S = 2046 + 10 = 2056.

C

Cấp số cộng có u$_{1}$ = 1 và công sai d = 3.

Ta có u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 1 + 3(n – 1) = 3n – 2.

D

Ta có $\frac{{{u_2}}}{4} = \frac{{64}}{{{u_2}}}$$\Leftrightarrow u_2^2 = 4.64 = 256$. Vì q > 0 nên u$_{2}$ = 16.

A

Xét a$_{n + 1}$– a$_{n}$ = (n + 1)$^{2}$ – n$^{2}$ = 2n + 1 > 0, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$ nên dãy số tăng.

b$_{n + 1}$ – b$_{n}$ = 2(n + 1) + 1 – (2n + 1) = 2 > 0, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$ nên dãy số tăng.

c$_{n + 1}$ – c$_{n}$ = $\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,$∀n $\in$ ℕ$^{*}$ nên dãy số giảm.

d$_{n + 1}$ – d$_{n}$ = 3$^{n + 1}$ – 3$^{n}$ = 2.3$^{n}$ > 0, ∀n $\in$ ℕ$^{*}$ nên dãy số tăng.

Vậy dãy số giảm là dãy (c$_{n}$).

A

Ta có ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$$\Leftrightarrow \frac{{ - 10\left( {1 - {{\left( { - 3} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = - 610$

$\Leftrightarrow$1 – (−3)$^{n}$ = 244 $\Leftrightarrow$ (−3)$^{5}$ = −243 $\Leftrightarrow$ n = 5.

D

Thay lần lượt n = 1; n = 2; n = 3; n = 4; n = 5 ta được

u$_{1}$ = −1; u$_{2}$ = 1; u$_{3}$ = 3; u$_{4}$ = 5; u$_{5}$ = 7.

C

Giả sử 4 góc A, B, C, D với (A < B < C < D) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ta có

$\{\begin{matrix}\text{A + B + C + D = 360}^{\circ} \\ \text{D = 27A}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\text{A}({\text{1 + q + q}}^{\text{2}}{\text{+ q}}^{\text{3}})\text{= 360}^{\circ} \\ {\text{Aq}}^{\text{3}}\text{= 27A}\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\text{A = 9}^{\circ} \\ \begin{matrix}\text{q = 3} \\ \text{D = 243}^{\circ}\end{matrix}\end{matrix}\Rightarrow \text{A + D = 252}^{\circ}$

A

Theo đề ta có u$_{1}$ – u$_{5}$ = 20 $\Leftrightarrow$ u$_{1}$ – (u$_{1}$ + 4d) = 20 $\Leftrightarrow$ d = −5.

D

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{q = 2}}}\\{{{\rm{S}}_{\rm{6}}}{\rm{ = 189 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{1}} - {{\rm{q}}^{\rm{6}}}}}{{{\rm{1}} - {\rm{q}}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{q = 2}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{6}}}{\rm{ = 96}}}\end{array}} \right.$.

C

Giả sử trồng được n hàng cây (n ³ 1, n $\in$ ℕ).

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u$_{1}$ = 1 và công sai d = 1.

Theo giả thiết ${S_n} = 820$ $\Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 820$$\Leftrightarrow$ n(n + 1) = 1640

$\Leftrightarrow$ n$^{2}$ + n – 1640 = 0 $\Leftrightarrow$ n = 40 hoặc n = −41.

So với điều kiện, suy ra n = 40. Vậy có tất cả 40 hàng cây.

C

Ta có 3 năm bằng 12 quý.

Gọi u$_{1}$; u$_{2}$; …, u$_{12}$ là tiền lương kĩ sư đó trong các quý.

Suy ra (u$_{n}$) là cấp số cộng với u$_{1}$ = 4,5 và d = 0,3.

Số tiền kĩ sư nhận được là ${S_{12}} = n\frac{{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}}{2} = 12.\frac{{2.4{,}5 + 11.0{,}3}}{2} = 73{,}8$.

D

Ta có$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}_{\rm{3}}}{\rm{ = m}}}\\{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{x}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 8}}}\end{array}} \right.$mà ${{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{{\rm{x}}_{\rm{3}}}$lập thành một cấp số nhân

$$\Rightarrow {{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}^{\rm{2}} \Rightarrow {{\rm{x}}_{\rm{2}}}^{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 8}} \Rightarrow {{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2}}$$

Vậy 2 là một nghiệm của phương trình ta có:

${{\rm{2}}^{\rm{3}}} - {\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{2}}} - {\rm{6}}{\rm{.2}} - {\rm{8 = 0}} \Rightarrow {\rm{m = }} - {\rm{3}}$.

A

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (u$_{n}$) với công bội q = 2.

Ta có u$_{6}$ = 64000 $\Leftrightarrow$ u$_{1}$.q$^{5}$ = 64000 $\Rightarrow$ u$_{1}$ = 2000.

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là u$_{n + 1.}$

Ta có u$_{n + 1}$ = 2048000 $\Rightarrow$ u$_{1}$.q$^{n}$ = 2048000 $\Rightarrow$ 2000.2$^{n}$ = 2048000 $\Rightarrow$ n = 10.

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

a) Ta có ${u_1} = 1 + \frac{1}{1} = 2$.

b) Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng.

c) Vì dãy số (u$_{n}$) là dãy số tăng nên u$_{n}$ > u$_{1}$ = 2, ∀n ³ 1.

d) Dãy số (u$_{n}$) có ${u_n} = n + \frac{1}{n} > n,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên dãy số này không bị chặn trên. Suy ra dãy số không bị chặn.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Cấp số cộng có số hạng đầu là u$_{1}$ = −1, công sai d = u$_{2}$ - u$_{1}$ = 2 – (−1) = 3.

b) Có u$_{5}$ = u$_{1}$ + 4d = −1 + 4d.

c) Có ${S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left( {2.\left( { - 1} \right) + 99.3} \right) = 14750$.

d) Ta có u$_{2}$; u$_{4}$; u$_{6;}$…; u$_{100}$ gồm 50 số hạng lập thành 1 cấp số cộng có u$_{1}$ = 2; d = 6.

Suy ra u$_{2}$ + u$_{4}$ + u$_{6}$ +…+ u$_{98}$ + u$_{100}$ $= {S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2.2 + \left( {50 - 1} \right).6} \right) = 7450$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Số tiền đầu tư mỗi lần được tính theo cấp số nhân với u$_{1}$ = 20000 và q = 2.

a) Số tiền đầu tư lần thứ hai là u$_{2}$ = 20000.2 = 40000 đồng.

b) Số tiền anh lỗ ở lần thứ 9 là u$_{9}$ = u$_{1}$.q$^{8}$ = 20000.2$^{8}$ = 5120000 đồng.

c) Số tiền đã lỗ trong 5 lần đầu là:

${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = 620000$.

d) Vì anh An lỗ hết cả 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền lỗ là:

${S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = 10220000$.

Số tiền anh lời trong lần thứ 10 là: u$_{10}$ = u$_{1}$.q$^{9}$ = 10240000.

Ta có u$_{10}$ – S$_{9}$ = 20000 > 0 nên anh An lời 20000.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lần lượt là u$_{1}$ = 5; q = 2.

b) Có u$_{5}$ = u$_{1}$.q$^{4}$= 5.2$^{4}$ = 80.

c) Có ${S_8} = {u_1}.\frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = 5.\frac{{1 - {2^8}}}{{1 - 2}} = 1275$.

d) Ta có u$_{n}$ = u$_{1}$.q$^{n – 1}$ Û 163840 = 5.2$^{n – 1}$Û 2$^{n – 1}$ = 2$^{15}$ Û n – 1 = 15 Û n = 16.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có ${S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = \frac{{50}}{2}\left( {2.5 + 49d} \right) = 5150 \Rightarrow d = 4$.

b) Có u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 5 + (n – 1). 4 = 1 + 4n.

Do đó u$_{85}$ = 1 + 4.85 = 341.

c) u$_{10}$ = 1 + 4.10 = 41.

d) ${S_{85}} = \frac{{85}}{2}\left( {2{u_1} + 84d} \right) = \frac{{85}}{2}\left( {2.5 + 84.4} \right) = 14705$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Theo cách 1: Tổng số tiền phải trả sau một năm là S$_{1}$ = 5 + 0,9.12 = 15,8 triệu đồng.

Khi đó số tiền lãi phải trả thêm là L$_{1}$ = 15,8 – 15 = 0,8 triệu đồng.

Theo cách 2: Số tiền phải trả hàng tháng tạo thành một cấp số cộng có u$_{1}$ = 1; d = 0,06.

Tổng số tiền phải trả sau một năm là ${S_{12}} = \frac{{12\left( {2{u_1} + 11d} \right)}}{2} = \frac{{12\left( {2.1 + 11.0{,}06} \right)}}{2} = 15{,}96$ triệu đồng.

Khi đó, số tiền lãi phải trả thêm là L$_{2}$ = 15,96 – 15 = 0,96 triệu đồng.

Vậy L$_{2}$ – L$_{1}$ = 0,96 – 0,8 = 0,16.

Trả lời: 0,16

Gọi u$_{n}$ là số ghế ở dãy thứ n, suy ra (u$_{n}$) là một cấp số cộng với d = 4, u$_{10}$ = 45.

Ta có u$_{10}$ = u$_{1}$ + 9d $\Leftrightarrow$ u$_{1}$ = u$_{10}$ – 9d = 45 – 9.4 = 9.

Vậy số ghế trong hội trường là $S = \frac{{10}}{2}\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right) = 5\left( {9 + 45} \right) = 270.$

Trả lời: 270.

Theo bài ra u$_{1}$; u$_{2}$; ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu, lập thành cấp số nhân với u$_{1}$ = 1024, công bội $q = \frac{1}{2}$ nên ${u_8} = {u_1}.{q^7} = 1024.\frac{1}{{{2^7}}} = 8$ cm.

Trả lời: 8.

Giả sử ba số hạng a; b; c lập thành cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu, khi đó b; a; c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội q. Ta có

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{a + c = 2b}}}\\{{\rm{a = bq; c = b}}{{\rm{q}}^{\rm{2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{bq + b}}{{\rm{q}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2b}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{b = 0}}}\\{{{\rm{q}}^{\rm{2}}}{\rm{ + q}} - {\rm{2 = 0}}}\end{array}} \right.$.

Nếu b = 0$\Rightarrow$ a = b = c = 0 nên a; b; c là cấp số cộng công sai d = 0 (vô lý)

Nếu q2 + q – 2 = 0$\Leftrightarrow$q = 1 hoặc q = −2

Nếu q = 1 $\Rightarrow$ a = b = c (vô lý), do đó q = −2.

Trả lời: −2.

Ta có ${u_n} = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin n - \frac{1}{2}\cos n} \right) = 2\sin \left( {n - \frac{\pi }{6}} \right)$.

Suy ra −2 $\le$ un $\le$ 2.

Do đó m = −2; M = 2. Vậy m + M = 0.

Trả lời: 0.