Trắc nghiệm Bài tập cuối chương 1 lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1; 3).

Chọn B

Ta có f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ $x = - \frac{1}{2}$ hoặc x = 3 hoặc x = 2.

Bảng xét dấu f'(x)

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số có 1 điểm cực đại.

Chọn A

Ta có f'(x) = 3x$^{2}$ – 3; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = −1.

Có f(−3) = −16; f(−1) = 4; f(1) = 0; f(3) = 20.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = - 16$.

Chọn D

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{4x + 1}}{{x - 1}} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số ta có m = −3; M = 4.

Do đó 2m – 3M = 2.(−3) – 3.4 = −18.

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0$ nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5$ nên y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 1. Loại B, C.

Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; 0) và (0; −1) nên chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty$ nên loại A, D.

Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên chọn C.

Chọn D

Ta có $y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x + 2}} = x - \frac{2}{{x + 2}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 2}}{{x + 2}}} \right) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - 2}}{{x + 2}}} \right) = 0$.

Do đó y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn C

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{c} > 0\\ - \frac{d}{c} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac > 0\\dc < 0\end{array} \right.$.

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta thấy f'(x) > 0 $\Leftrightarrow$ x $\in$ (−1; 1) nên hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−1; 1).

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+) Hàm số có 2 cực trị.

+) Phương trình y' = 0 có 1 nghiệm.

+) Giá trị cực đại của hàm số là 3.

+) Phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x \right)}}$ có 3 tiệm cận đứng.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{f\left( x \right)}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{f\left( x \right)}} = 0$ nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số $y = \frac{2}{{f\left( x \right)}}$ có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn A

Ta có f'(x) = 3x2 + ex > 0, ∀x $\in$ [0; 2].

Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên [0; 2].

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên [0; 2] là f(2).

a) Ta có $y = \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}} = - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{{14}}{{x - 3}}} \right) = 0;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{{14}}{{x - 3}}} \right) = 0$.

Do đó y = −x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - {x^2} - 3x + 4}}{{x - 3}} = + \infty$.

Do đó x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Vậy đồ thị (C) nhận giao điểm I(3; −9) làm tâm đối xứng.

c) Ta có $y' = - 1 + \frac{{14}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$; y' = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt {14} \\x = 3 + \sqrt {14} \end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng $\left( {3;3 + \sqrt {14} } \right)$; nghịch biến trên $\left( {3 + \sqrt {14} ;7} \right)$.

d) Ta có .

Do đó, đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với Oy.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có bảng xét dấu f'(x) như sau

a) Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 1.

b) Hàm số tăng trên (1; +∞).

c) Trên đoạn [-3; 0] hàm số y = f(x) nghịch biến biến nên giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) là f(0).

d) Bảng xét dấu của hàm số y = f(x) trên [0; 2].

Dựa vào bảng xét dấu ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [0; 2] là f(1).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y = 0,2$^{f(x)}$ trên [0; 2] là 0,2$^{f(1)}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có hàm số đồng biến trên (−1; 1).

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và giá trị cực tiểu của hàm số là −2.

c) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = \frac{1}{{2024}}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và $y = \frac{1}{{2024}}$.

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng $y = \frac{1}{{2024}}$ cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt.

Do đó phương trình có 3 nghiệm.

d) Ta có $f\left( {{x^3} + 3{x^2} - 1} \right) = 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} - 1 = a\left( {a < - 1} \right)\\{x^3} + 3{x^2} - 1 = b\left( {0 < b < 1} \right)\\{x^3} + 3{x^2} - 1 = c\left( {1 < c < 2} \right)\end{array} \right.$.

Ta có đồ thị hàm số y = x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 1.

Dựa vào đồ thị hàm số y = x$^{3}$ + 3x$^{2}$– 1. Ta có:

+) ${x^3} + 3{x^2} - 1 = a\left( {a < - 1} \right)$ có 1 nghiệm.

+) ${x^3} + 3{x^2} - 1 = b\left( {0 < b < 1} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt.

+) ${x^3} + 3{x^2} - 1 = c\left( {1 < c < 2} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình f(x$^{3}$+ 3x$^{2}$ – 1) = 1 có đúng 7 nghiệm thực phân biệt.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Thể tích của bể chứa nước là V = x.4x.h = 50 $\Rightarrow h = \frac{{50}}{{4{x^2}}} = \frac{{25}}{{2{x^2}}}$.

b) Diện tích các mặt là $S\left( x \right) = 2x.\frac{{25}}{{2{x^2}}} + 2.4x.\frac{{25}}{{2{x^2}}} + x.4x = 4{x^2} + \frac{{250}}{{2x}}$ (m).

c) Chi phí vật liệu thấp nhất khi diện tích các mặt thấp nhất.

Có $S'\left( x \right) = 8x - \frac{{125}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có chi phí vật liệu thấp nhất khi x = 2,5 m.

d) Dựa vào bảng biến thiên ta có diện tích các mặt cần xây đạt giá trị nhỏ nhất là 75 m$^{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực tiểu của hàm số f(x) là x = 3.

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1; +∞) là −1.

c) Vì đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

d) Ta có h'(x) = −3f'(2 – 3x).

Để hàm số h(x) đồng biến thì f'(2 – 3x) < 0 $\Leftrightarrow$ 1 < 2 – 3x < 3 $\Leftrightarrow$ $- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Từ đồ thị hàm số y = f'(x) ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên đoạn [−1; 1] như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$.

Do đó x$_{0}$ = 0.

Trả lời: 0.

Ta có f'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} - 10x + 3 = 0\\3{x^2} - 25x + 48 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3;x = \frac{1}{3}\\x = 3;x = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.$.

Ta có bảng xét dấu f'(x)

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{3};\frac{{16}}{3}} \right)$.

Trong khoảng $\left( {\frac{1}{3};\frac{{16}}{3}} \right)$ có 5 giá trị nguyên nhỏ hơn 2024.

Trả lời: 5.

Có f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1 hoặc x = 1 hoặc x = 4.

Ta có g'(x) = −f'(3 – x).

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x = - 1\\3 - x = 1\\3 - x = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\\x = - 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng xét dấu hàm g'(x).

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số y = g(x) có 1 điểm cực đại.

Trả lời: 1.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26$; $\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26$ nên y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó a = 26.

Trả lời: 26.

Đồ thị đi qua (0; 0) suy ra a = 0.

x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nên b = −2.

Do đó P = 2024 a – 25b = 50.

Trả lời: 50.