(Trả lời ngắn) 29 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Đáp án: $\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)$

Giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z = - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.$

Đáp án: 45$^{o}$

$\left( P \right)$qua O và nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;2} \right)$làm VTPT

$\left( Q \right):x - y - 11 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$

Ta có $\cos (\widehat{(P),(Q)})=\frac{|\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{n}|}{OH.|\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{((P),(Q))}={45}^{0}$

Đáp án: $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.$

Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là$\overrightarrow {{n_p}} = \left( {1; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;2m - 1} \right)$

Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$ nên

$\begin{matrix}\text{cos}\frac{π}{4}=|\text{cos}(\overrightarrow{{n}_{p}};\overrightarrow{{n}_{Q}})|\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{|1+2(2m-1)|}{3.\sqrt{1+{(2m-1)}^{2}}} \\ \ \Leftrightarrow 2{(4m-1)}^{2}=9(4{m}^{2}-4m+2) \\ \ \Leftrightarrow 4{m}^{2}-20m+16=0 \\ \ \Leftrightarrow [\begin{matrix}m=1 \\ m=4\end{matrix}.\end{matrix}$

Đáp án: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = 2t\end{array} \right.$

Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow u = \left( {1\,;3\,;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = 2t\end{array} \right.$.

Đáp án: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$

Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$ nhận $\overrightarrow {BC} = \left( {2\,;\,3\,;\, - 1} \right)$ làm một véc tơ chỉ phương.

Phương trình của đường thẳng $d$: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$.

Đáp án: $\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$

Trung điểm của $AB$ là $I\left( {0;1; - 1} \right)$

$d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}$ có VTCP là $\overrightarrow u \left( {1; - 1;2} \right)$ nên đường thẳng $\Delta$ cần tìm cũng có VTCP $\overrightarrow u \left( {1; - 1;2} \right)$.

Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta :\,\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{2}.$

Đáp án: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2\\z = 3 - t\end{array} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{{\vec n}_{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\\{{\vec n}_{\left( Q \right)}} = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right.$ và $\left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}},{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {2;0; - 2} \right) = 2\left( {1;0; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng $d$ song song với hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ $\left( {1;0; - 1} \right)$ làm véc tơ chỉ phương.

Đáp án: $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow {{u_d}} = {\overrightarrow n _{_{\left( p \right)}}} = \left( {3;2; - 1} \right)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với $\left( P \right)$ là: $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$

Đáp án: $\{\begin{matrix}x=1 \\ y=1+2t \\ z=2-2t\end{matrix}$

Ta có $\underset{BC}{\rightarrow }=(0;-2;-2),\underset{BD}{\rightarrow }=(-1;-1;-1)$

Mặt phẳng $(BCD)$ có một véctơ pháp tuyến là

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(0;2;-2)$.

Đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là $\{\begin{matrix}x=1 \\ y=1+2t \\ z=2-2t\end{matrix}$.

Đáp án: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 4 + 4t\\z = 4 + 2t\end{array} \right..$

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {2;0; - 1} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {0; - 1;2} \right)$

$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_{BCD}}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 1; - 4; - 2} \right)$$

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ nhận vectơ pháp tuyến của $\left( {BCD} \right)$là vectơ chỉ phương $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 4 + 4t\\z = 4 + 2t\end{array} \right..$

Đáp án: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$

$\left( P \right):\,\,x + z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$.

$\left( Q \right):\,\,x - 2y - z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2\,;2\,;\, - 2} \right)$.

Gọi $\vec u$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$, thì $\vec u \bot \overrightarrow {{n_1}}$ và $\vec u \bot \overrightarrow {{n_2}}$.

Suy ra $\vec u$ cùng phương với $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right]$. Chọn $\vec u = \left( {1\,;1\,;\, - 1} \right)$.

Lấy $M\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)$thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)$ có một véctơ chỉ phương $\vec u = \left( {1\,;1\,;\, - 1} \right)$.

Vậy phương trình $\Delta$ là: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

Đáp án: $AM:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}$

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$ là trung điểm $BC$. Khi đó $M\left( {1; - 1;3} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AM} = vtcp\overrightarrow u = \left( {2; - 4;1} \right)$

PTĐT $AM:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}$

Đáp án: 3x + 2y - z + 1 = 0

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

Ta có: $\underset{{n}_{P}}{\rightarrow }=\underset{{n}_{d}}{\rightarrow }=(3;2;-1)$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là: 3(x-2) + 2(y+2) - 1(z-3) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x + 2y - z + 1 = 0

Đáp án: 3x + y - 2z - 1 = 0

Ta lấy điểm $M(2;1;3)\in (\Delta )\Rightarrow \{\begin{matrix}\underset{AM}{\rightarrow }=(2;0;3) \\ vtcp\underset{{u}_{(\Delta )}}{\rightarrow }=(1;-1;1)\end{matrix}\Rightarrow \underset{n}{\rightarrow }=[\underset{AM}{\rightarrow },\underset{u(\Delta )}{\rightarrow }]=(3;1;-2)$

Mặt phẳng cần tìm qua A(0; 1; 0) và nhận $\underset{n}{\rightarrow }=(3;1;-2)$ làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là:

$3.(x-0)+1(y-1)-2(z-0)=0\Leftrightarrow 3x+y-2z-1=0$

Đáp án: -3x - 2y - 10z + 23 = 0

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương $\underset{u}{\rightarrow }=(-4;1;1)$.

Ta có: $\underset{AM}{\rightarrow }=(2;-3;0);[\underset{AM}{\rightarrow },\underset{u}{\rightarrow }]=(-3;-2;-10)$

Mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d có vectơ pháp tuyến .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là -3(x+1) - 2(y-3) - 10(z-2) = 0 $\Leftrightarrow$ -3x - 2y - 10z + 23 = 0

Đáp án: $\left( P \right):2y - 2z + 1 = 0$

Ta có:${d_1}$ đi qua điểm $A\left( {2;0;0} \right)$ và có VTCP ${\vec u_1} = \left( { - 1;1;1} \right)$

${d_2}$ đi qua điểm $B\left( {0;1;2} \right)$ và có VTCP ${\vec u_2} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$

Vì $\left( P \right)$ song song với hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ nên VTPT của $\left( P \right)$ là $\vec n = [{\vec u_1},{\vec u_2}] = \left( {0;1; - 1} \right)$

Khi đó $\left( P \right)$ có dạng $y - z + D = 0 \Rightarrow$ loại đáp án A và C

Lại có $\left( P \right)$ cách đều ${d_1}$ và ${d_2}$ nên $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $M\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)$ của $AB$

Do đó $\left( P \right):2y - 2z + 1 = 0$

Đáp án: $P = 0$

Ta có $d{\rm{//}}\Delta$.

Chọn $A\left( {2;\, - 1;\,1} \right) \in \left( d \right),\,B\left( {3;\, - 2;\,1} \right) \in \left( \Delta \right)$.

$$\overrightarrow {AB} = \left( {1;\, - 1;\,0} \right)$$

Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( \Delta \right)$ qua $A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( { - 2;\, - 2;\,4} \right) = - 2\left( {1;\,1;\, - 2} \right)$ là:

$1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z + 1 = 0$.

Đáp án: $6x + 9y + z + 8 = 0$

$d$có VTCP $\overrightarrow u = ( - 2;1;3)$và đi qua $M(1; - 2;4)$

$d'$có VTCP $\overrightarrow {u'} = (1; - 1;3)$và đi qua $M'( - 1;0; - 2)$

Từ đó ta có

$$\overrightarrow {MM'} = ( - 2;2; - 6)$$

${\rm{[}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1) \ne \overrightarrow 0$ và ${\rm{[}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ].\overrightarrow {MM'} = 0$

Suy ra $d$ cắt $d'$.

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và $d'$đi qua giao điểm của $d$ và $d'$; có VTPT $\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ]$

Từ phương trình đường thẳng $d$ và $d'$, ta có:

$$\begin{array}{l}\frac{{ - 1 + t - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - t + 2}}{1} = \frac{{ - 2 + 3t - 4}}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2 + t}}{{ - 2}} = \frac{{ - t + 2}}{1} = \frac{{ - 6 + 3t}}{3}\\ \Leftrightarrow t = 2\end{array}$$

Từ đó suy ra giao điểm I của $d$ và $d'$ là $I(1; - 2;4)$.

Khi đó ta có $(P)$ đi qua $I(1; - 2;4)$ và có VTPT $\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ cần tìm là

$6(x - 1) + 9(y + 2) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0$$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b + 3c = 1 + 2.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 0\\\end{array}$.

Đáp án: $OM = 2\sqrt 2$

* Ta có : $\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 6} \right) = 2\left( {1;2; - 3} \right)$

Gọi $I\left( {4;3;4} \right)$ là trung điểm của $AB$

Phương trình mặt phẳng trung trực $\left( Q \right)$ của $AB$ là : $\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y - 3} \right) - 3\left( {z - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 2y - 3z + 2 = 0$

Gọi $d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$. Đường thẳng $d$ có $1$ vpcp là $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)$ và đi qua điểm $N\left( { - 2;0;0} \right)$, có phương trình là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = t\end{array} \right.$

* Gọi $M \in \left( P \right):MA = MB$. Khi đó $M \in {\rm{d}}$và $M\left( { - 2 + t;t;t} \right)$

Theo giả thiết, ta có : $MA = \sqrt {35}$ $\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 5} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 7} \right)}^2}} = \sqrt {35}$

$\Leftrightarrow 3{t^2} - 26t + 40 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{20}}{3}\\t = 2 \Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)\end{array} \right.$

Vậy $OM = 2\sqrt 2$

Đáp án: $h - k = 0$

$H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)$.

$K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)$.

Ta có$\overrightarrow {HK} = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)$.

$\Delta \bot d \Leftrightarrow$$\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0$$\Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).$

Ta có$H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,$đạt được khi $t = - 1$.

Khi đó ta có $\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)$, suy ra $\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.$

Đáp án: $d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4$

Gọi $M\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)$ là điểm cần tìm.

$\overrightarrow {AM} = \left( {x - 3\,;\,y - 1\,;\,z - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x + 3\,;\,y + 1\,;\,z} \right)$.

Vì $\Delta MAB$ vuông tại $M$ nên $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11$.

$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {11}$.

Nhận xét thấy $d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11} = R$.

$\Rightarrow \left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $M$

$\Rightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$.

Vậy $d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4$.

Đáp án: khoảng cách từ $A$đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng $3$.

Đường thẳng $d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2\,;\,2\,;\, - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 3 = 0$có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} \,.\,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{14}}$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Khi đó tam giác $\Delta MAH$ vuông tại $H$ nên $\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = \sin \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{AM}}$.

$\Rightarrow AH = AM\,.\,\sin \left( {d\,;\,\left( \alpha \right)} \right) = 3$.

Vậy khoảng cách từ $A$đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng $3$.

Đáp án: $\frac{{6\sqrt {85} }}{{85}}$

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là $1$, ta được tọa độ các điểm như sau :

$M\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{6}} \right)$$,C'\left( {0;1;0} \right)$$,D'\left( {1;1;0} \right)$ và $A\left( {1;0;1} \right)$$,B\left( {0;0;1} \right)$.

Khi đó ${\overrightarrow n _{\left( {MC'D'} \right)}} = \left( {0;1;3} \right)$$;{\overrightarrow n _{\left( {MAB} \right)}} = \left( {0;5;3} \right)$ nên $\cos \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}$$= \frac{{\left| {5.1 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}$ $= \frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}$.

Suy ra $\sin \widehat {\left( {\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)} \right)}$$= \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}} \right)}^2}}$$= \frac{{6\sqrt {85} }}{{85}}$.

Đáp án: $\cos \varphi = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}$

Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O \equiv A$ như hình vẽ, chọn $a = 1$ đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm $B\left( {1;0;0} \right)$, $C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)$ suy ra trung điểm của $BC$ là $H\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, vì $H$ là hình chiếu của $A'$ nên suy ra tọa độ của $A'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)$. Ta tìm tọa độ $B'$, gọi tọa độ $B'\left( {x;y;z} \right)$ khi đó ta có $\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {OB}$ nên tọa độ $B'\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\sqrt 5 } \right)$. Ta cũng có $\overrightarrow {B'C} = \left( { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)$ và $\overrightarrow {A'B} = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 5 } \right)$. Từ đó ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {B'C} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'C} } \right|}}$ $= \frac{7}{{2.\sqrt 6 .\sqrt 8 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}$.

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $A'C'$ là hình chiếu vuông góc của $A'C$ trên $(ABCD)\Rightarrow (A'C,(ABCD))=(A'C,A'C')=\widehat{CA'C'}={30}^{0}.$

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=a\sqrt{3};\tan \widehat{CA'C'}=\frac{CC'}{A'C'}\Rightarrow CC'=a.$

Kết hợp với giả thiết ta được $ABB'A'$ là hình vuông và có $H$ là tâm.

Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $A'D'\& A'A.$

Ta có $\frac{1}{A{K}^{2}}=\frac{1}{A'{A}^{2}}+\frac{1}{A{D}^{2}}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}}{3};A'K=\sqrt{A'{A}^{2}-A{K}^{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}};$

$\frac{1}{K{F}^{2}}=\frac{1}{K{A}^{2}}+\frac{1}{A'{K}^{2}}\Rightarrow KF=\frac{a\sqrt{2}}{3};KE=\sqrt{A'{K}^{2}-K{F}^{2}}\Rightarrow KE=\frac{a}{3}.$

Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thỏa mãn $O \equiv A'$ còn $D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A$ theo thứ tự thuộc các tia $Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.$ Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

$A(0;0;a),B'(0;a;0),H(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}),K(\frac{a\sqrt{2}}{3};0;\frac{a}{3}),E(\frac{a\sqrt{2}}{3};0;0),F(0;0;\frac{a\sqrt{2}}{3}).$

Mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ là mặt phẳng $(yOz)$ nên có VTPT là ${\overrightarrow n _1} = (1;0;0);$

Ta có $[\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH}]=\frac{{a}^{2}}{6}{\overrightarrow{n}}_{2},\ {\overrightarrow{n}}_{2}(2;\sqrt{2};\sqrt{2}).$

Mặt phẳng $(AKH)$có VTPT là ${\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng$\left( {AHK} \right)$ và $\left( {ABB'A'} \right)$.

Ta có $cosα=|cos({\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2})|=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow α={45}^{0}.$

Đáp án: $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$

Lấy $H$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: ${V_{ABC.A'BC'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4} \Rightarrow CC = a$vì ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $M \equiv O$.

$M\left( {0\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}A'\left( {\frac{a}{2}\,;0\,;0} \right),{\rm{ }}B'\left( {0\,;\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\,;0} \right),{\rm{ C'}}\left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};0} \right);{\rm{ }}A\left( {\frac{a}{2};0\,;a} \right);{\rm{ }}N\left( {0\,; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)$.

Ta có: $\left( {ABC} \right) \bot Oz$ nên $\left( {ABC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {\frac{a}{2};0;a} \right)$, $\overrightarrow {MN} = \left( {0; - \frac{{\sqrt 3 a}}{2};\frac{a}{2}} \right)$.

Gọi ${\overrightarrow v _1} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MA} \Rightarrow {\overrightarrow v _1} = \left( {1;0;2} \right)$, ${\overrightarrow v _2} = \frac{a}{2}\overrightarrow {MN} \Rightarrow {\overrightarrow v _2} = \left( {0; - \sqrt 3 ;1} \right)$.

Khi đó mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương là ${\overrightarrow v _1}$ và ${\overrightarrow v _2}$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {{{\overrightarrow v }_1},{{\overrightarrow v }_2}} \right] = \left( {2\sqrt 3 ; - 1; - \sqrt 3 } \right)$.

Vậy $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

Đáp án: $\frac{1}{3}$

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $B\left( {0;0;0} \right)$, $A\left( {a\sqrt 2 ;0;0} \right)$, $C\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)$, $S\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có $\left( {ABC} \right):z = 0$, $\overrightarrow {AS} = \left( {x - a\sqrt 2 ;y;z} \right)$, $\overrightarrow {CS} = \left( {x;y - a\sqrt 2 ;z} \right)$

Do $\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB} = 0$$\Rightarrow \left( {x - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2 = 0$$\Rightarrow x = a\sqrt 2$, $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = 2a$$\Rightarrow z = 2a$ $\left( {z > 0} \right)$

$\overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} = 0$$\Rightarrow \left( {y - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2 = 0$$\Rightarrow y = a\sqrt 2$$\Rightarrow S\left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AS} = \left( {0;a\sqrt 2 ;2a} \right)$, $\overrightarrow {CS} = \left( {a\sqrt 2 ;0;2a} \right)$, $\overrightarrow {BS} = \left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)$.

$\left( {SBC} \right)$ có 1 vtpt $\vec n = \left( { - \sqrt 2 ;0;1} \right)$, $\left( {SAB} \right)$ có 1 vtpt $\vec m = \left( {0;\sqrt 2 ; - 1} \right)$$\Rightarrow \cos \varphi$$= \frac{1}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}$$= \frac{1}{3}$.

Đáp án: $\sin \alpha = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}$

Gọi $O$ là trung điểm $BC$.

Ta có: $BO=AB.{\text{cos30}}^{o}\Leftrightarrow AB=\frac{BO}{{\text{cos30}}^{o}}=\frac{a\sqrt{3}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=a=AC$ và $AO=AB.{\text{sin30}}^{o}=\frac{a}{2}$.

Theo đề bài:

$2\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{C{C}^{'}}\Leftrightarrow \overrightarrow{CM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{C{C}^{'}}\Leftrightarrow \overrightarrow{C{C}^{'}}+\overrightarrow{{C}^{'}M}=\frac{3}{2}\overrightarrow{C{C}^{'}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{C}^{'}M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{'}}\Rightarrow {C}^{'}M=\frac{a}{2}$

Coi $a = 1$.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ với $O\left( {0;\,0;\,0} \right)$, $A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)$, $B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)$, $C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)$, $B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)$, $M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)$.

Khi đó $\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)$ có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$.