(Trả lời ngắn) 20 bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (có lời giải)

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó là:

$\overline x = \frac{{2.18{,}3 + 3.21{,}3 + 2.24{,}3 + 1.27{,}3 + 4.30{,}3}}{{12}} = 24{,}8\left( {^\circ C} \right)$.

Phương sai của mẫu số liệu đó là

${s^2} = \frac{{2{{\left( {18{,}3 - 24{,}8} \right)}^2} + 3{{\left( {21{,}3 - 24{,}8} \right)}^2} + 2{{\left( {24{,}3 - 24{,}8} \right)}^2} + {{\left( {27{,}3 - 24{,}8} \right)}^2} + 4{{\left( {30{,}3 - 24{,}8} \right)}^2}}}{{12}} \simeq 20{,}8$

Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\bar x = \frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{50}} = 8{,}72$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

S2 = $\frac{1}{{50}}$ (6 . 52 + 12 . 72 + 19 . 92 + 9 . 112 + 4 . 132) – 8,722 ≈ 4,80.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S \approx \sqrt {4{,}80} \approx 2{,}19$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\bar x_2} = \frac{{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}}{{20}} = 124{,}1$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

S22 = $\frac{1}{{20}}$ (3 . 892 + 6 . 1072 + 3 . 1252 + 5 . 1432 + 3 . 1612) – 124,12 = 566,19.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_2} \approx \sqrt {566{,}19} \approx 23{,}795$

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện:

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\bar x_1} = \frac{{8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129}}{{50}} = 125{,}28$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_1^2$ = $\frac{1}{{50}}$ (8 . 1212 + 9 . 1232 + 12 . 1252 + 10 . 1272 + 11 . 1292) – (125,28)2 = 7,5216.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_1} = \sqrt {S_1^2} = \sqrt {7{,}5216}$

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\bar x_2} = \frac{{16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129}}{{50}} = 125{,}28$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_2^2$=$\frac{1}{{50}}$ (16 . 1212 + 4 . 1232 + 3 . 1252 + 6 . 1272 + 21 . 1292) – (125,48)2 = 12,4096.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là ${S_2} = \sqrt {S_2^2} = \sqrt {12{,}4096}$

Cỡ mẫu: ${\rm{n}} = 100$

Số trung bình: $\bar x = \frac{{13.19{,}25 + 45.19{,}75 + 24.20{,}25 + 12.20{,}75 + 6.21{,}25}}{{100}} = 20{,}015$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{13.19{,}25}^2} + {{45.19{,}75}^2} + {{24.20{,}25}^2} + {{12.20{,}75}^2} + {{6.21{,}25}^2}}}{{100}} - {20{,}015^2} \approx 0{,}28$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {0{,}28} \approx 0{,}53$

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 18 là:

$\overline{x}=\frac{4\cdot 42{,}5+14\cdot 47{,}5+8\cdot 52{,}5+10\cdot 57{,}5+6\cdot 62{,}5+2\cdot 67{,}5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53{,}2\text{(chục nghìn đồng)}$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng là:

$$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{44}} \cdot \left[ {4 \cdot {{(42{,}5 - 53{,}2)}^2} + 14 \cdot {{(47{,}5 - 53{,}2)}^2} + 8 \cdot {{(52{,}5 - 53{,}2)}^2} + 10 \cdot {{(57{,}5 - 53{,}2)}^2}} \right.\\{\rm{ }}\left. { + 6 \cdot {{(62{,}5 - 53{,}2)}^2} + 2 \cdot {{(67{,}5 - 53{,}2)}^2}} \right] = \frac{{2029{,}56}}{{44}} \approx 46{,}1\end{array}$$

Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: $s \approx \sqrt {46{,}1} \approx 6{,}8$ (chục nghìn đồng).

- Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ${\rm{A}}$ được cho bởi Bảng 19 là:

${\bar x_A} = \frac{{15 \cdot 12{,}5 + 18 \cdot 17{,}5 + 10 \cdot 22{,}5 + 10 \cdot 27{,}5 + 5 \cdot 32{,}5 + 2 \cdot 37{,}5}}{{60}} = \frac{{1240}}{{60}} \approx 20{,}67{\rm{ }}$(triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn mức lương của công ty ${\rm{A}}$ được cho bởi Bảng 19 là:

$$\begin{array}{l}s_A^2 = \frac{1}{{60}} \cdot \left[ {15 \cdot {{(12{,}5 - 20{,}67)}^2} + 18 \cdot {{(17{,}5 - 20{,}67)}^2} + 10 \cdot {{(22{,}5 - 20{,}67)}^2}} \right.\\\left. { + 10 \cdot {{(27{,}5 - 20{,}67)}^2} + 5 \cdot {{(32{,}5 - 20{,}67)}^2} + 2 \cdot {{(37{,}5 - 20{,}67)}^2}} \right] = \frac{{2948{,}334}}{{60}} \approx 49{,}14\end{array}$$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_A} \approx \sqrt {49{,}14} \approx 7{,}01$ (triệu đồng).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ${\rm{B}}$ được cho bởi Bảng 20 là:

${\bar x_B} = \frac{{25 \cdot 12{,}5 + 15 \cdot 17{,}5 + 7 \cdot 22{,}5 + 5 \cdot 27{,}5 + 5 \cdot 32{,}5 + 3 \cdot 37{,}5}}{{60}} = \frac{{1047{,}5}}{{60}} \approx 17{,}46$(triệu đồng).

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biếu diễn mức lương của công ty ${\rm{B}}$ được cho bới Bảng 20 là:

$\begin{array}{l}s_B^2 = \frac{1}{{60}} \cdot \left[ {25 \cdot {{(12{,}5 - 17{,}46)}^2} + 15 \cdot {{(17{,}5 - 17{,}46)}^2} + 7 \cdot {{(22{,}5 - 17{,}46)}^2}} \right.\\\left. {{\rm{ }} + 5 \cdot {{(27{,}5 - 17{,}46)}^2} + 5 \cdot {{(32{,}5 - 17{,}46)}^2} + 3 \cdot {{(37{,}5 - 17{,}46)}^2}} \right] = \frac{{3632{,}696}}{{60}} \approx 60{,}54\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_B} \approx \sqrt {60{,}54} \approx 7{,}78$ (triệu đồng).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\bar x = \frac{{25 \cdot 25 + 20 \cdot 35 + 20 \cdot 45 + 15 \cdot 55 + 14 \cdot 65 + 6 \cdot 75}}{{100}} = \frac{{4410}}{{100}} \approx 44$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm được cho bởi Bảng 21 là:

$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{100}} \cdot \left[ {25 \cdot {{(25 - 44)}^2} + 20 \cdot {{(35 - 44)}^2} + 20 \cdot {{(45 - 44)}^2}} \right.\left. { + 15 \cdot {{(55 - 44)}^2} + 14 \cdot {{(65 - 44)}^2} + 6 \cdot {{(75 - 44)}^2}} \right]\\{\rm{ }} = \frac{{24420}}{{100}} = 244{,}2\end{array}$Độ lệch chuẩn của mẵu số liệu ghép nhóm trên là: $s = \sqrt {244{,}2} \approx 15{,}6$.

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Tổng số người nam là: ${n_1} = 2 + 3 + 5 + 3 + 2 = 15$.

Tổng số người nữ là: ${n_2} = 2 + 7 + 12 + 7 + 2 = 30$.

Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là:

${\bar x_1} = \frac{1}{{15}}[2 \cdot ( - 0{,}5) + 3 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5(\;{\rm{kg}})$

Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là:

${\bar x_2} = \frac{1}{{30}}[2 \cdot ( - 0{,}5) + 7 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot 1{,}5 + 7 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5(\;{\rm{kg}})$

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nam là:

$s_1^2 = \frac{1}{{15}}\left[ {2 \cdot {{( - 0{,}5)}^2} + 3 \cdot {{0{,}5}^2} + 5 \cdot {{1{,}5}^2} + 3 \cdot {{2{,}5}^2} + 2 \cdot {{3{,}5}^2}} \right] - {1{,}5^2} \approx {1{,}21^2};{s_1} \approx 1{,}21$

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đồi cân nặng của người nừ là:

$s_2^2 = \frac{1}{{30}}\left[ {2 \cdot {{( - 0{,}5)}^2} + 7 \cdot {{0{,}5}^2} + 12 \cdot {{1{,}5}^2} + 7 \cdot {{2{,}5}^2} + 2 \cdot {{3{,}5}^2}} \right] - {1{,}5^2} \approx {2{,}06^2};{s_2} \approx 2{,}06.$

Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ nhiều hơn so với của nam.

Cỡ mẫu: $n = 30$

Xét mẫu số liệu của Mai:

Số trung bình: $\overline {{x_1}} = \frac{{6.4 + 7.6 + 6.8 + 6.10 + 5.12}}{{30}} = 7{,}8$

Phương sai: ${S_1}^2 = \frac{{\left( {{{6.4}^2} + {{7.6}^2} + {{6.8}^2} + {{6.10}^2} + {{5.12}^2}} \right)}}{{30}} - {7{,}8^2} = 7{,}56$

Độ lệch chuẩn: ${\sigma _1} = \sqrt {7{,}56} \approx 2{,}75$

Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Số trung bình: $\overline {{x_2}} = \frac{{2.4 + 5.6 + 13.8 + 8.10 + 2.12}}{{30}} = 8{,}2$

Phương sai: $S_2^2 = \frac{{\left( {{{2.4}^2} + {{5.6}^2} + {{13.8}^2} + {{8.10}^2} + {{2.12}^2}} \right)}}{{30}} - {8{,}2^2} \approx 3{,}83$

Độ lệch chuẫn: ${\sigma _2} = \sqrt {3{,}83} \approx 1{,}96$

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $45 - 20 = 25$ (phút)

b) Có mẫu $n = 18$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{18}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_6} \in [20;25);{x_7}; \ldots ;{x_{12}} \in [25;30);{x_{13}}; \ldots ;{x_{16}} \in [30;35);{x_{17}}; \in [35;40);{x_{18}} \in [40;45)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_5} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{18}}{4}}}{6}(25 - 20) = 23{,}75$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{14}} \in [30;35)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.18}}{4} - (6 + 6)}}{4}(35 - 30) = 31{,}875$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8{,}125$

c) Số trung bình: $\bar x = \frac{{6.22{,}5 + 6.27{,}5 + 4.32{,}5 + 37{,}5 + 42{,}5}}{{18}} \approx 28{,}33$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{6.22{,}5}^2} + {{6.27{,}5}^2} + {{4.32{,}5}^2} + {{37{,}5}^2} + {{42{,}5}^2}}}{{18}} - {28{,}33^2} = 31{,}25$

a) Khoảng biến thiện của mẫu số liệu là: $18 - 8 = 10$ (giây)

b) Cỡ mẫu $n = 25$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian giải rubik trong 25 lần của bạn Dūng được xếp th thứ tự không giảm.

та có: ${x_1}; \ldots ;{x_4} \in [8;10);{x_5}; \ldots ;{x_{10}} \in [10;12);{x_{11}}; \ldots ;{x_{18}} \in [12;14);{x_{19}}; \ldots ;{x_{22}} \in [14;16)$; ${x_{23}}; \ldots ;{x_{25}} \in [16;18)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) \in [10;12)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}(12 - 10) = 10{,}75$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{19}} \in [14;16)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (4 + 6 + 8)}}{4}(16 - 14) = 14{,}375$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3{,}63$

c)

Số trung bình: $\bar x = \frac{{4.9 + 6.11 + 8.13 + 4.15 + 3.17}}{{25}} = 12{,}68$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {\frac{{{{4.9}^2} + {{6.11}^2} + {{8.13}^2} + {{4.15}^2} + {{3.17}^2}}}{{25}} - {{12{,}68}^2}} \approx 5{,}98$

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $4{,}2 - 2{,}7 = 1{,}5(\;{\rm{km}})$

b) Cỡ mẫu $n = 20$

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

${x_1}; \ldots ;{x_3} \in [2{,}7;3{,}0){x_4}; \ldots ;{x_9} \in [3{,}0;3{,}3){x_{10}}; \ldots ;{x_{14}} \in [3{,}3;3{,}6){x_{15}}; \ldots ;{x_{18}} \in [3{,}6;3{,}9){x_{19}};{x_{20}} \in [3{,}9;4{,}2)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in [3{,}0;3{,}3)$

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 3{,}0 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6}(3{,}3 - 3{,}0) = 3{,}1$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in [3{,}6;3{,}9)$

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 3{,}6 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 6 + 5)}}{4}(3{,}9 - 3{,}6) = 3{,}675$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0{,}575$

c)

Số trung bình: $\bar x = \frac{{3.2{,}85 + 6.3{,}15 + 5.3{,}45 + 4.3{,}75 + 2.4{,}05}}{{20}} = 3{,}39$

Phương sai: ${S^2} = \frac{{{{3.2{,}85}^2} + {{6.3{,}15}^2} + {{5.3{,}45}^2} + {{4.3{,}75}^2} + {{2.4{,}05}^2}}}{{20}} - {3{,}39^2} = 0{,}1314$

d) Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt {0{,}1314} \approx 0{,}36$

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tống số vận động viền là: $3 + 7 + 8 + 2 = 20$.

Thời gian chạy trung bình là: $\frac{{10{,}3.3 + 10{,}5.7 + 10{,}7.8 + 10{,}9.2}}{{20}} = 10{,}59$.

Phương sai của mẫu số liệu là

${s^2} = \frac{{{{10{,}3}^2} \cdot 3 + {{10{,}5}^2} \cdot 7 + {{10{,}7}^2} \cdot 8 + {{10{,}9}^2} \cdot 2}}{{20}} - {10{,}59^2} = 0{,}0299.{\rm{ }}$

Độ lệch chuấn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt {0{,}0299} \approx 0{,}17$.

Dựa vào phương sai và độ lệch chuấn ta có kết luận rằng mẫu số liệu kết quả luyện tập có tính đồng đều, dư liệu có xu hướng gần giá trị trung bình và ít bị phân tán.

Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau:

Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là:

${\overline{x}}_{A}=\frac{1}{20}(2\cdot 15+\ldots +2\cdot 55)=35\text{(triệu đồng);}{\overline{x}}_{B}=\frac{1}{20}(4\cdot 515+\ldots +4\cdot 555)=535\text{(triệu đồng).}$

Độ lệch chuẩn của lợi nhuận hàng tháng của hai nhà đầu tư tương ứng là:

${s}_{A}=\sqrt{\frac{1}{20}(2\cdot {15}^{2}+\ldots +2\cdot {55}^{2})-{(35)}^{2}}\approx 10{,}95;$

${s}_{B}=\sqrt{\frac{1}{20}(4\cdot {515}^{2}+\ldots +4\cdot {555}^{2})-{(535)}^{2}}\approx 13{,}78.$

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tuối thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

$\overline {{x_1}} = \frac{{4 \cdot 1{,}75 + 9.2{,}25 + 13 \cdot 2{,}75 + 8 \cdot 3{,}25 + 6 \cdot 3{,}75}}{{4 + 9 + 13 + 8 + 6}} = 2{,}7875.{\rm{ }}$

Tuối thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$\overline {{x_2}} = \frac{{2 \cdot 1{,}75 + 8 \cdot 2{,}25 + 20 \cdot 2{,}75 + 7 \cdot 3{,}25 + 3 \cdot 3{,}75}}{{2 + 8 + 20 + 7 + 3}} = 2{,}7625.{\rm{ }}$

Phương sai và độ lệch chuấn của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

Suy ra $s_1^2 = \frac{{{{4.1{,}75}^2} + {{9.2{,}25}^2} + {{13.2{,}75}^2} + {{8.3{,}25}^2} + {{6.3{,}75}^2}}}{{40}} - {(2{,}7875)^2} \approx 0{,}355$.

Phương sai và độ lệch chuấn của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$s_2^2 = \frac{{2 \cdot {{1{,}75}^2} + {{8.2{,}25}^2} + {{20.2{,}75}^2} + {{7.3{,}25}^2} + {{3.3{,}75}^2}}}{{40}} - {(2{,}7625)^2} \approx 0{,}219.{\rm{ }}$

Suy ra ${s_2} = \sqrt {0{,}219} \approx 0{,}47$.

Đối với mẫu số liệu này thì phương sai và độ lệch chuấn nhó nên độ phân tán của số liệu thấp. Do đó các giá trị của mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

$x=\frac{4{,}75\cdot 3+5{,}25\cdot 8+5{,}75\cdot 7+6{,}25\cdot 2}{20}=5{,}45;\$

${s}^{2}=\frac{{4{,}75}^{2}\cdot 3+{5{,}25}^{2}\cdot 8+{5{,}75}^{2}\cdot 7+{6{,}25}^{2}\cdot 2}{20}-{5{,}45}^{2}=0{,}185\Rightarrow s=\sqrt{0{,}185}\approx 0{,}43.$

Khoảng biến thiên: ${\rm{R}} = 7{,}5 - 5 = 2{,}5$.

Cỡ mẫu là ${\rm{n}} = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40$.

Gọi ${{\rm{x}}_1};{{\rm{x}}_2}; \ldots ;{{\rm{x}}_{40}}$ thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin và được sắp xếp theo thứ tự tăng dằn.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$.

Mà ${x_{10}} \in [5{,}5;6);{x_{11}} \in [6;6{,}5)$. Do đó ${Q_1} = 6$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$.

Mà ${x_{30}};{x_{31}} \in [6{,}5;7)$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[6{,}5;7)$.

Ta có ${Q_3} = 6{,}5 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - 25}}{{10}} \cdot (7 - 6{,}5) = 6{,}75$.

Khoảng tứ phân vị ${{\rm{D}}_{\rm{Q}}} = {{\rm{Q}}_3} - {{\rm{Q}}_1} = 6{,}75 - 6 = 0{,}75$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Thời gian trung bình là: $\bar x = \frac{{5{,}25 \cdot 2 + 5{,}75 \cdot 8 + 15 \cdot 6{,}25 + 10 \cdot 6{,}75 + 5 \cdot 7{,}25}}{{40}} = 6{,}35.{\rm{ }}$

Phương sai và độ lệch chuẩn là:

${s^2} = \frac{{{{5{,}25}^2} \cdot 2 + {{5{,}75}^2} \cdot 8 + 15 \cdot {{6{,}25}^2} + 10 \cdot {{6{,}75}^2} + 5 \cdot {{7{,}25}^2}}}{{40}} - {6{,}35^2} = 0{,}2775.{\rm{ }}$Suy ra $s = \sqrt {0{,}2775} \approx 0{,}53$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: ${\rm{R}} = 180 - 170 = 10$.

Cỡ mẫu là: ${\rm{n}} = 3 + 10 + 6 + 1 = 20$.

Gọi ${{\rm{x}}_1};{{\rm{x}}_2},.;{{\rm{x}}_{20}}$ là mức xà của 20 vận động viên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$ mà ${x_5};{x_6}$ thuộc nhóm $[172;174)$.

Ta có ${Q_1} = 172 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{{10}} \cdot (174 - 172) = 172{,}4$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}$ mà x15; ${{\rm{x}}_{16}}$ thuộc nhóm $[174;176)$.

Ta có ${Q_3} = 174 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 13}}{6} \cdot (176 - 174) \approx 174{,}7$.

Do đó khoảng tứ phân vị là ${\Delta _{\rm{Q}}} = {{\rm{Q}}_3} - {{\rm{Q}}_1} = 174{,}7 - 172{,}4 = 2{,}3$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có

Mức xà trung bình là: $\bar x = \frac{{3.171 + 10.173 + 6.175 + 1.178}}{{20}} = 173{,}55.{\rm{ }}$

Phương sai và độ lệch chuẩn: ${s^2} = \frac{{{{3.171}^2} + {{10.173}^2} + {{6.175}^2} + {{1.178}^2}}}{{20}} - {173{,}55^2} \approx 2{,}75.{\rm{ }}$

Suy ra $s = \sqrt {2{,}75} \approx 1{,}66$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Hiệu điện thế trung bình của An đo là: $\overline {{x_1}} = \frac{{3{,}875 \cdot 1 + 3{,}925 \cdot 6 + 3{,}975 \cdot 2 + 4{,}025.1}}{{10}} = 3{,}94.{\rm{ }}$

Hiệu điện thế trung bình của Bình đo là: $\overline {{x_2}} = \frac{{3{,}875.1 + 3{,}925.3 + 3{,}975.4 + 4{,}025.2}}{{10}} = 3{,}96$

Phương sai và độ lệch chuẩn về mẫu số liệu ghép nhóm của An đo là:

$s_1^2 = \frac{{{{3{,}875}^2} \cdot 1 + {{3{,}925}^2} \cdot 6 + {{3{,}975}^2} \cdot 2 + {{4{,}025}^2} \cdot 1}}{{10}} - {3{,}94^2} = 1{,}525 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{. }}$Suy ra ${s_1} = \sqrt {1{,}525 \cdot {{10}^{ - 3}}} \approx 0{,}039$.

Phương sai và độ lệch chuẩn về mẫu số liệu ghép nhóm của Bình đo là:

$s_2^2 = \frac{{{{3{,}875}^2} \cdot 1 + {{3{,}925}^2} \cdot 3 + {{3{,}975}^2} \cdot 4 + {{4{,}025}^2} \cdot 2}}{{10}} - {3{,}96^2} = 2{,}025 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{. }}$Suy ra ${s_2} = \sqrt {2{,}025 \cdot {{10}^{ - 3}}} = 0{,}045$.