(Trả lời ngắn) 18 bài tập Xác suất có điều kiện (có lời giải)

Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”

Gọi B là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.

Ta cần tính xác suất $P\left( {A \cap B} \right)$

Theo công thức nhân xác suất $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)$

Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên$P\left( A \right) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}$

Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20, do đó$P\left( {B|A} \right) = \frac{{20}}{{49}}$

Vậy xác suất cần tìm là $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{5}.\frac{{20}}{{49}} = \frac{{12}}{{29}} \approx 0{,}41$.

Gọi A là biến cố: “rút ra được câu hỏi lý thuyết”

Gọi B là biến cố: “rút ra được câu khó”

Nếu biết B đã xảy ra (nghĩa là câu hỏi rút ra là một câu trong số 17 câu khó) thì xác suất để câu hỏi đó là lý thuyết (nghĩa là câu hỏi đó là một câu trong số 5 câu hỏi lý thuyết khó ) chính là xác suất A có điều kiện B đã xảy ra. Ta đi tính $P\left( {A|B} \right)$.

Ta có:

$$P\left( A \right) = \frac{{13}}{{40}}$$

$$P\left( B \right) = \frac{{17}}{{40}}$$

$$P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{{40}}$$

Vậy $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{5}{{40}}}}{{\frac{{17}}{{40}}}} = \frac{5}{{17}} \approx 0{,}29$.

Gọi A là biến cố: “ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm”

Gọi B là biến cố: “tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10”

Ta có:

$$P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{11}}{{36}}$$

Biến cố $B$ có các trường hợp $\left\{ {\left( {4;6} \right),\left( {6;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\}$

Biến cố $A \cap B$ có 3 trường hợp xảy ra: $\left\{ {\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right)} \right\}$ có xác suất là: $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{{36}}$

Vậy $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{3}{{36}}}}{{\frac{{11}}{{36}}}} = \frac{3}{{11}} \approx 0{,}27$

Xét các biến cố:

A: “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;

A: “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó, $P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn $35$ bộ câu hỏi, trong đó có $16$ câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra $P\left( {B/A} \right) = \frac{{16}}{{35}}$.

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn $35$ bộ câu hỏi, trong đó có $15$ câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra $P\left( {B/\overline A } \right) = \frac{{15}}{{35}}$.

Xét các biến cố: $A$ : "Chọn được bạn biết chơi đàn organ";

$B$ : "Chọn được bạn biết chơi đàn guitar".

Khi đó, ${\rm{P}}\left( A \right) = \frac{{27}}{{40}} = 0{,}675;{\rm{P}}\left( B \right) = \frac{{25}}{{40}} = 0{,}625;{\rm{P}}\left( {A \cup B} \right) = 1$.

Suy ra ${\rm{P}}\left( {A \cap B} \right) = {\rm{P}}\left( A \right) + {\rm{P}}\left( B \right) - {\rm{P}}\left( {A \cup B} \right) = 0{,}675 + 0{,}625 - 1 = 0{,}3$.

Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi đàn organ, biết bạn đó chơi được đàn guitar, là ${\rm{P}}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{0{,}3}}{{0{,}625}} = 0{,}48$

Xét các biến cố: $A$ : "Chọn được học sinh thích môn Tin học";

B: "Chọn được học sinh thích môn Tiếng Anh".

Khi đó, ${\rm{P}}\left( A \right) = \frac{{15}}{{37}};{\rm{P}}\left( B \right) = \frac{{20}}{{37}};{\rm{P}}\left( {A \cup B} \right) = 1 - \frac{{10}}{{37}} = \frac{{27}}{{37}}$.

Suy ra ${\rm{P}}\left( {A \cap B} \right) = {\rm{P}}\left( A \right) + {\rm{P}}\left( B \right) - {\rm{P}}\left( {A \cup B} \right) = \frac{{15}}{{37}} + \frac{{20}}{{37}} - \frac{{27}}{{37}} = \frac{8}{{37}}$.

Vậy xác suất chọn được học sinh thích môn Tin học, biết học sinh đó thích môn

Tiếng Anh, là ${\rm{P}}\left( {A\mid B} \right) = \frac{{\frac{8}{{\frac{{37}}{{20}}}}}}{{\frac{{37}}{{37}}}} = 0{,}4$.

$A,B$ độc lập $\Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$

$$\begin{array}{l}P\left( A \right) = \frac{3}{7}\\P\left( B \right) = \frac{4}{7}\end{array}$$

$$P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{3.4}}{{7.7}} = \frac{{12}}{{49}}$$

$\Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$$A,B$ độc lập

Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”,

Gọi B là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.

ta cần tính xác suất $P\left( {A \cap B} \right)$

Theo công thức nhân xác suất $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)$

Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên$P\left( A \right) = \frac{{30}}{{50}} = \frac{3}{5}$

Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20, do đó$P\left( {B|A} \right) = \frac{{20}}{{49}}$

Vậy xác suất cần tìm là$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{5}.\frac{{20}}{{49}} = \frac{{12}}{{29}}$

Gọi A là biến cố: “rút ra được câu hỏi lý thuyết”

Gọi B là biến cố: “rút ra được câu khó”

Nếu biết B đã xảy ra (nghĩa là câu hỏi rút ra là một câu trong số 17 câu khó) thì xác suất để câu hỏi đó là lý thuyết (nghĩa là câu hỏi đó là một câu trong số 5 câu hỏi lý thuyết khó ) chính là xác suất A có điều kiện B đã xảy ra. Ta đi tính $P\left( {A|B} \right)$

Ta có:

$$P\left( A \right) = \frac{{13}}{{40}}$$

$$P\left( B \right) = \frac{{17}}{{40}}$$

$$P\left( {A \cap B} \right) = \frac{5}{{40}}$$

Vậy $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{5}{{40}}}}{{\frac{{17}}{{40}}}} = \frac{5}{{17}}$

Gọi A là biến cố: “ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm”

Gọi B là biến cố: “tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10”

Ta có:

$$P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{11}}{{36}}$$

Biến cố $B$ có các trường hợp $\left\{ {\left( {4;6} \right),\left( {6;4} \right),\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right),\left( {6;6} \right)} \right\}$

Biến cố $A \cap B$ có 3 trường hợp xảy ra: $\left\{ {\left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {6;5} \right)} \right\}$ có xác suất là: $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{3}{{36}}$

Vậy $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{3}{{36}}}}{{\frac{{11}}{{36}}}} = \frac{3}{{11}}$

Xét hai biến cố sau:

A: "Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi";

$B$ : "Học sinh được chọn ra là học sinh nữ".

Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, chính là xác suất của $A$ với điều kiện $B$.

Do có 26 học sinh nữ đạt điểm giỏi nên

${\rm{P}}(A \cap B) = \frac{{26}}{{200}} = 0{,}13.{\rm{ }}$

Do có 105 học sinh nữ nên ${\rm{P}}(B) = \frac{{105}}{{200}} = 0{,}525$. Vì thế, ta có:

${\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{{\rm{P}}(A \cap B)}}{{{\rm{P}}(B)}} = \frac{{0{,}13}}{{0{,}525}} \approx 0{,}25.$

Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, là 0,25 .

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng công thức: $\frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$.

Do có 1 học sinh nữ tên Thanh nên $P(A \cap B) = \frac{1}{{30}}$.

Do có 17 học sinh nữ trong lớp nên $P(B) = \frac{{17}}{{17 + 13}} = \frac{{17}}{{30}}$.

Vì thế, ta có: $\frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{{30}}}}{{\frac{{17}}{{30}}}} = \frac{1}{{17}}$

Xét hai biến cố sau:

A: "Áo được chọn ra có cơ 40 ";

$B$ : "Áo được chọn ra là áo sơ mi trắng".

Khi đó, xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40 , biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, chính là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}(A\mid B)$.

Áp dụng công thức $(*)$, ta có: ${\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{{200}}{{1000}} = 0{,}2.$

Vậy xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40 , biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, là 0,2

Xét hai biến cố sau:

A: "Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”;

B: "Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh".

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh, chính là xác suất của A với điều kiện B .

Cách 1:

Nếu $B$ xảy ra, tức là lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh. Khi đó, trong hộp còn lại 9 quả bóng với 5 quả bóng màu xanh và 4 quả bóng màu đỏ.

Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh là: ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{4}{9}$.

Xét hai biến cố sau:

A: "Chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5 ";

B: "Chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng".

Khi đó, xác suất để chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5 , biết rằng chiếc thẻ đó có màu vàng, chính là xác suất có điều kiện ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}})$.

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{{40}}{{200}} = \frac{1}{5} = 0{,}2$.

Vậy xác suất để chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5 , biết rằng chiếc thẻ đó có màu vàng, là 0,2 .

Gọi A là biến cố: "tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 ";

B là biến cố: "ít nhất một con xúc xắc xuắt hiện mặt 5 chấm".

Cần tính $P(A\mid B)$.

Ta có ${\rm{AB}} = \{ (5;5);(5;6);(6;5)\} ;{\rm{n}}({\rm{AB}}) = 3 \Rightarrow P(AB) = \frac{3}{{36}}$

$\bar B = \{ ({\rm{a}};{\rm{b}})\mid {\rm{a}},{\rm{b}} \in \{ 1;2;3;4;6\} \} \Rightarrow {\rm{n}}(\bar B) = 5 \cdot 5 = 25.$

$\Rightarrow P(\bar B) = \frac{{25}}{{36}} \Rightarrow P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}.$

Vậy $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{3}{{11}}$

Gọi A là biến cố: "Lằn 1 Hà lấy được kẹo màu cam";

B là biến cố: "Lần 2 Hà lấy được kẹo màu cam".

Khi đó AB là biến cố: "Cả hai lần Hà lấy được kẹo màu cam". Ta có ${\rm{P}}({\rm{AB}}) = \frac{1}{3}$.

Gọi $n$ là số kẹo ban đầu trong túi $(n > 0)$.

Ta có $P(A) = \frac{6}{n},P(B\mid A) = \frac{5}{{n - 1}}$.

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

$P(AB) = P(A) \cdot P(B\mid A) = \frac{6}{n} \cdot \frac{5}{{n - 1}} = \frac{{30}}{{{n^2} - n}} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow {n^2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow n = - 9{\rm{ (loai) ; }}n = 10(t/m).$

Vậy ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.

Gọi A là biến cố "Cả 3 người được chọn đều là kĩ sư" và B là biến cố " 3 người được chọn có ít nhất 2 kĩ sư".

Cần tính ${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}$.

Số cách chọn 3 người từ phòng 10 người là $C_{10}^3 = 120$ cách.

Số cách chọn 3 người trong có có ít nhất hai kĩ sư là $C_4^2 \cdot C_6^1 + C_4^3 = 40$ cách. Suy ra $P(B) = \frac{{40}}{{120}} = \frac{1}{3}$.

Số cách chọn 3 người đều là kĩ sư là $C_4^3 = 4$ cách.

Do đó $P(AB) = \frac{4}{{120}} = \frac{1}{{30}}$.

Vậy $P(A\mid B) = \frac{1}{{30}}:\frac{1}{3} = \frac{1}{{10}}$.