(Trả lời ngắn) 13 bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

Ta có: $\overrightarrow{BA}=(0;2;2),\overrightarrow{BC}=(3;-3;0)$. Suy ra

$\cos \widehat{ABC}=\cos (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{0.3+2\cdot (-3)+2\cdot 0}{\sqrt{{0}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}\cdot \sqrt{{3}^{2}+{(-3)}^{2}+{0}^{2}}}=-\frac{1}{2}\text{.}$

Suy ra góc $\widehat{ABC}={120}^{^{\circ}}$

Ta có: Vị trí $A,B$có tọa độ lần lượt là: $(150;200;50),( - 180; - 240;60)$. Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng:

$AB=\sqrt{{(-180-150)}^{2}+{(-240-200)}^{2}+{(60-50)}^{2}}\approx 550(\text{m}).$

Trả lời: $550(\text{m})$

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - x - 2;2} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3;y + 1} \right)$.

Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-4=k.4 \\ -x-2=k.(-3) \\ 2=k.(y+1)\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}k=-1 \\ x=-5 \\ y=-3\end{matrix}$

Vậy $x+y=-5-3=-8$

Do $MA\overrightarrow {MA} = 4MB\overrightarrow {MB}$ nên $\overrightarrow {MA}$ cùng hướng $\overrightarrow {MB}$.

$MA\overrightarrow {MA} = 4MB\overrightarrow {MB} \Rightarrow M{A^2} = 4M{B^2} \Leftrightarrow MA = 2MB$$\Rightarrow$$B$ là trung điểm $AM$$\Rightarrow$$M\left( {7;4; - 5} \right)$.

Khi đó $a + b + c = 7 + 4 + \left( { - 5} \right) = 6$

Gọi $M\left( {x;\,y;\,z} \right)$.

Vì điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$ nên

$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3.(-2-x)=-3 \\ 3.(-4-y)=-6 \\ 3.(9-z)=6\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-1 \\ y=-2 \\ z=7.\end{matrix}$

$\Rightarrow M(-1;-2;7)$$\Rightarrow OM=\sqrt{1+4+49}=\sqrt{54}\Rightarrow O{M}^{2}=54$

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3$; $\overrightarrow {BC} = \left( {4;1;1} \right)$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3\sqrt 2$.

Theo giả thiết $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ và có diện tích bằng $6\sqrt 2$ nên

$\frac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = 6\sqrt 2$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2$$\Rightarrow AD = \sqrt 2$$\Rightarrow AD = \frac{1}{3}BC$.

Do $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ nên $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$.

Giả sử $D\left( {a;b;c} \right)$ khi đó ta có $\{\begin{matrix}a-1=\frac{4}{3} \\ b-2=\frac{1}{3} \\ c-1=\frac{1}{3}\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=\frac{7}{3} \\ b=\frac{7}{3} \\ c=\frac{4}{3}\end{matrix}\Rightarrow a+b+c=6$

Ta có $Q=2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|+3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=2|3\overset{⇀}{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}|+3|2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}|$

Với $G\left( {3;2;0} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$và $I\left( {2;4;0} \right)$là trung điểm $BC$, ta có:

$Q=2|3\overset{⇀}{MG}|+3|2\overrightarrow{MI}|=6(MG+MI)$

Do $G$ và $I$ nằm cùng phía so với $Ox$ nên gọi $G'\left( {3; - 2;0} \right)$ là điểm đối xứng của $G$ qua $Ox$.

Khi đó $Q=2|3\overset{⇀}{MG}|+3|2\overrightarrow{MI}|=6(MG+MI)=6(MG'+MI)\ge 6G'I=6\sqrt{37}$

Đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $G'I$ và $Ox$.

Ta có ${S_{ABCD}} = 4{S_{ABC}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {BC,AD} \right)\left( {BC + AD} \right) = 4.\frac{1}{2}d\left( {BC,AD} \right)BC$

$\Leftrightarrow BC + AD = 4BC \Leftrightarrow AD = 3BC$. Do $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$$\Rightarrow \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {BC}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a+2=-15 \\ b-3=-6 \\ c-1=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-17 \\ b=-3 \\ c=4\end{matrix}\Rightarrow a+b+c=-16$

$\overrightarrow{a}=(3;1;-2)\Rightarrow 2\overrightarrow{a}=(6;2;-4)\Rightarrow 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4;2;-7)$

Do đó $\overrightarrow{a}.(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=12+2+14=28$

Do $D\in Oy\Rightarrow D(0;y;0)$

Khi đó $\overrightarrow{DA}=(2;-1-y;1),\overrightarrow{DB}=(3;-y;-1),\overrightarrow{DC}=(2;-1-y;3)$

Ta có $[\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}]=(1+2y;5;y+3)$

$[\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}].\ \overrightarrow{DC}=2+4y-5-5y+3y+9=2y+6$

Và ${V}_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}].\overrightarrow{DC}|=5\Leftrightarrow [\begin{matrix}2y+6=30 \\ 2y+6=-30\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}y=12 \\ y=-18\end{matrix}$

Vậy ${y}_{1}+{y}_{2}=12-18=-6$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía Tây, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ $\left( {20;10;0{,}7} \right)$.

Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ $\left( { - 30; - 25;1} \right)$.

Do đó khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là: $\sqrt {{{\left( {20 + 30} \right)}^2} + {{\left( {10 + 25} \right)}^2} + {{\left( {0{,}7 - 1} \right)}^2}} \approx 61\left( {km} \right)$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía Tây, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ $\left( { - 80; - 100;1} \right)$.

Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ $\left( {70;60;0{,}8} \right)$.

Khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là:

$$\sqrt {{{\left( { - 80 - 70} \right)}^2} + {{\left( { - 100 - 60} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0{,}8} \right)}^2}} \approx 219\left( {km} \right)$$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía Tây, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ $\left( { - 60; - 40;2} \right)$.

Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ $\left( {80;50;4} \right)$.

Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ $\left( {\frac{{ - 60 + 80}}{2};\frac{{ - 40 + 50}}{2};\frac{{2 + 4}}{2}} \right) = \left( {10;5;3} \right)$.

Khoảng cách giữa chiếc máy bay thứ nhất và chiếc máy bay thứ hai:

$$\sqrt {{{\left( { - 60 - 80} \right)}^2} + {{\left( { - 40 - 50} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} \approx 166{,}4\left( {km} \right)$$

Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:

$$\sqrt {{{10}^2} + {5^2} + {3^2}} \approx 11{,}6\left( {km} \right)$$