Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 29. Tứ giác nội tiếp có đáp án

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180° nên xét tứ giác nội tiếp ABCD, ta có:

$\widehat A + \widehat C = 180^\circ$ hay $\widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ ;$

$\widehat B + \widehat D = 180^\circ$ hay $\widehat D = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ .$

Vậy khẳng định A là khẳng định đúng.

Đáp án đúng là: C

Tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.

Suy ra điểm O là giao điểm của AC và BD, hay O là trung điểm mỗi đường.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật bằng một nửa độ dài đường chéo suy ra $R = \frac{{AC}}{2}.$

Theo định lí Pythagore, ta có: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ hay $AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$ (cm).

Do đó $R = \frac{5}{2} = 2{,}5$ cm.

Vậy khẳng định C là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: D

Một hình vuông chỉ có thể nội tiếp một đường tròn.

Mỗi đường tròn ngoại tiếp có thể ngoại tiếp nhiều hình vuông.

Hai hình vuông có cạnh bằng nhau thì chưa chắc đã cùng nội tiếp một đường tròn.

Hai hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn tức là có cùng bán kính hay có cạnh bằng nhau, suy ra hai hình vuông đó có diện tích bằng nhau.

Vậy khẳng định D là khẳng định đúng.

a) $\widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ ,$

$$\widehat D = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ ;$$

b) $\widehat A = 180^\circ - \widehat C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ ,$

$$\widehat D = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ ;$$

c) $\widehat A = 180^\circ - \widehat C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ ,$

$$\widehat B = 180^\circ - \widehat D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ ;$$

d) $\widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ ,$

$$\widehat B = 180^\circ - \widehat D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ .$$

Do tổng các góc nội tiếp của tứ giác nội tiếp ABCD bằng 360° nên:

$\widehat {IBD} = 180^\circ - \widehat {ACD} = \widehat {ICA},$ $\widehat {IDB} = 180^\circ - \widehat {CAB} = \widehat {IAC}.$

Mặt khác, từ các đẳng thức trên ta suy ra ∆IBD ᔕ ∆ICA (g.g).

Do đó $\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{ID}}{{IA}},$ hay IA.IB = IC.ID.

Do hình bình hành ABCD nội tiếp nên tổng các góc đối diện với nhau bằng 180°.

Do đó $\widehat A = \widehat C = \frac{{\widehat A + \widehat C}}{2} = 90^\circ .$

Do vậy hình bình hành ABCD có hai góc vuông nên là hình chữ nhật.

Do hình thang ABCD nội tiếp nên tổng các góc đối diện với nhau bằng 180°.

Do đó $\widehat A = 180^\circ - \widehat C = \widehat B.$

Do vậy ABCD là hình thang cân.

Gọi hình chữ nhật đó là ABCD với AB = 2BC.

Khi đó AC = 2.2,5 = 5 (cm).

Theo định lí Pythagore cho ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC$^{2}$ = 25 = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 5BC$^{2}$.

Do đó $BC = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5$ (cm); $AB = 2BC = 2\sqrt 5$ (cm).

Hình chữ nhật ABCD có diện tích là:

${S_{ABCD}} = AB.BC = \sqrt 5 .2\sqrt 5 = 10$ (cm$^{2}$).

Khung cổng là một nửa của hình chữ nhật với kích thước 6 m × 4 m và nội tiếp một đường tròn với một nửa là khung thép trên.

Đường chéo của hình chữ nhật với kích thước 6 m × 4 m là $\sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13}$ (m).

Vậy bán kính đường tròn đó là $R = \frac{{2\sqrt {13} }}{2} = \sqrt {13}$ (m).

Chiều dài đoạn thép để làm khung nửa đường tròn bằng với độ dài của nửa đường tròn trên và bằng $\frac{{2\sqrt {13} \pi }}{2} = \sqrt {13} \pi \approx 11{,}32$ (m).

Theo định lí Pythagore, ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {16 + 16} = 4\sqrt 2$ (cm).

Vậy đường tròn (O) có bán kính $R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2$ (cm).

Hình tròn tâm O bán kính R có diện tích là

${S_1} = \pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi$ (cm2).

Hình vuông ABCD có diện tích là ${S_2} = {4^2} = 16$ (cm2).

Vì bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông lần lượt cùng với bốn cung nhỏ AB, BC, CD, DA giới hạn bốn hình viên phân bằng nhau nên mỗi hình này có diện tích là:

$S = \frac{1}{4}\left( {{S_1} - {S_2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {8\pi - 16} \right) = 2\pi - 4$ (cm2).

a) Ta có: $\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = 90^\circ .$

Do vậy các tam giác vuông BFC và BEC cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Vì $\widehat {EFC}$ và $\widehat {EBC}$ là hai góc nội tiếp của tứ giác này và cùng chắn cung CE nên $\widehat {EFC} = \widehat {EBC}.$

Suy ra $\widehat {EFH} = \widehat {EFC} = \widehat {EBC} = \widehat {HBC}.$

Tương tự ta có: $\widehat {FEH} = \widehat {HCB}.$

b) Ta có: $\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ .$

Do vậy các tam giác vuông AEH và AFH cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Suy ra tứ giác AEFH nội tiếp đường tròn đường kính AH. Do $\widehat {EHF}$ và $\widehat {EAF}$ là hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp AEHF nên: $\widehat {EHF} + \widehat {EAF} = 180^\circ .$

Suy ra $\widehat {BHF} = 180^\circ - \widehat {BHC} = 180^\circ - \widehat {EHF} = \widehat {BAC}.$

Tương tự $\widehat {CHE} = \widehat {BAC}.$

Vậy $\widehat {BHF} = \widehat {BAC} = \widehat {CHE}.$