Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}};$ $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}};$ $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}};$ $\cot C = \frac{{AC}}{{AB}}.$

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat C = 30^\circ ,$ ta có:

$\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\sin B = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2};$ $\cos C = \cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2};$

$\tan B = \tan 60^\circ = \sqrt 3 ;$ $\cot B = \cot 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Vậy khẳng định D là khẳng định sai.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy α, β là hai góc nhọn trong tam giác vuông ABC nên α, β là hai góc phụ nhau.

Suy ra ta có: sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

Đáp án đúng là: D

Hai góc nhọn α, β là hai góc phụ nhau thì ta có:

sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

Ta thấy:

• $\sin 82^\circ = \cos \left( {90^\circ - 82^\circ } \right) = \cos 8^\circ$ nên đáp án A sai.

• $\cos 75^\circ = \sin \left( {90^\circ - 75^\circ } \right) = \sin 15^\circ$ nên đáp án B sai.

• $\cot 52^\circ = \tan \left( {90^\circ - 52^\circ } \right) = \tan 38^\circ$ nên đáp án C sai.

• $\tan 30^\circ 40' = \cot \left( {90^\circ - 30^\circ 40'} \right) = \cot 59^\circ 20'$ nên đáp án D đúng.

a) (H.4.5a)

Theo định lí Pythagore, ta có

AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = BC$^{2}$

AC$^{2}$ = BC$^{2}$ – AB$^{2}$

$AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{17}^2} - {8^2}} = \sqrt {225} = 15.$

Từ đó:

• $\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}},$ $\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}},$

• $\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{15}}{8},$ $\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{15}}.$

b) (H.4.5b)

Theo Pythagore, ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{1{,}2}^2} + {{0{,}9}^2}} = \sqrt {2{,}25} = 1{,}5.$

Từ đó:

• $\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}5}} = 0{,}6,$

• $\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}5}} = 0{,}8,$

$\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}2}} = 0{,}75,$

$\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1{,}2}}{{0{,}9}} = \frac{4}{3}.$

(H.4.6)

Tam giác ABC vuông tại A, $\widehat B = 60^\circ ,$ AB = 3.

Ta cần tính cạnh AC.

Ta có $\tan B = \tan 60^\circ = \sqrt 3 ,$ do đó $\frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 3 ,$ suy ra $AC = AB.\sqrt 3 = 3\sqrt 3 .$

(H.4.7)

Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5, $\widehat C = 30^\circ .$

Ta cần tính cạnh BC.

Trong tam giác ABC vuông, ta có

$\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}$ hay $\sin 30^\circ = \frac{{AB}}{{BC}},$ suy ra $\frac{1}{2} = \frac{{AB}}{{BC}},$ hay BC = 2AB = 2.5 = 10 (cm).

(H.4.8)

Hình chữ nhật ABCD có $AD = \sqrt 3 ,$ DC = 3. Ta cần tính góc $\widehat {ADB}.$

Ta có $\tan \widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 .$

Theo bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có $\widehat {ADB} = 60^\circ .$

a) Ta có sin 55° = cos(90° – 55°) = cos 35°;

cos 62° = sin(90° – 62°) = sin 28°;

tan 57° = cot(90° – 57°) = cot 33°;

cot 64° = tan(90° – 64°) = tan 26°.

b) Ta có $\frac{{\tan 25^\circ }}{{\cot 65^\circ }} = \frac{{\tan 25^\circ }}{{\tan \left( {90^\circ - 65^\circ } \right)}} = \frac{{\tan 25^\circ }}{{\tan 25^\circ }} = 1;$

$\tan 34^\circ - \cot 56^\circ = \tan 34^\circ - \tan \left( {90^\circ - 56^\circ } \right) = \tan 34^\circ - \tan 34^\circ = 0.$

a) $\sin 40^\circ 12' \approx 0{,}645;$

b) $\cos 52^\circ 54' \approx 0{,}603;$

c) $\tan 63^\circ 36' \approx 2{,}014;$

d) $\cot 35^\circ 20' \approx 1{,}411.$

a) $x \approx 13^\circ 42';$

b) $x \approx 51^\circ 30';$

c) $x \approx 51^\circ 1';$

d) $x \approx 24^\circ 54'.$

(H.4.9)

a) Trong tam giác ABC vuông có

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$

Theo định lí Pythagore, ta có

BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ = 8$^{2}$ + 6$^{2}$ = 100.

$BC = \sqrt {100} = 10.$

Ta có $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5},$ từ đó suy ra $\widehat B \approx 53^\circ .$

b) Trong tam giác vuông ABH có:

$\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},$ suy ra $AH = AB.\sin B = 6.\frac{4}{5} = \frac{{24}}{5};$

$\tan B = \frac{{AH}}{{BH}},$ suy ra $BH = \frac{{AH}}{{\tan B}} = \frac{{24}}{5}:\frac{4}{3} = \frac{{24}}{5}.\frac{3}{4} = \frac{{18}}{5}.$

$\cos \widehat {BAH} = \sin \widehat {ABC} = \frac{4}{3}$ (vì $\widehat {BAH}$ và góc $\widehat {ABC}$ là hai góc phụ nhau).

(H.4.10)

Tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}}$ nên

$AH = AB.\sin \widehat {ABH} = AB.\sin 60^\circ = 6.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 .$

Xét tam giác ABC có $\widehat {ACB} = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ .$

Tam giác ACH vuông tại H, ta có:

$\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}}$ nên $AC = \frac{{AH}}{{\sin \widehat {ACH}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sin 80^\circ }} \approx 5{,}27.$

b) Ta có $\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{CH}}$ nên $CH = \frac{{AH}}{{\tan \widehat {ACH}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\tan 80^\circ }} \approx 0{,}92.$

$\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}}$ nên $BH = \frac{{AH}}{{\tan \widehat {ABH}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 3.$