Giải VTH Toán 7 KNTT Bài tập cuối chương 9 có đáp án

Nối B với E. Trong tam giác BDE, góc BDE tù (do $\widehat {BAC}$ là góc tù), nên DE < BE.

Trong tam giác BEC, góc BEC tù (cũng do $\widehat {BAC}$ là góc tù) nên BE < BC.

Suy ra DE < BC.

Tam giác ABD cân tại B (AB = BD) và có góc ngoài tại đỉnh B là $\widehat {ABC}$

nên $\widehat D = \widehat {{A_1}} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$.

Tam giác ACE cân tại C (AC = CE) và có góc ngoài tại đỉnh C là $\widehat {ACB}$

nên $\widehat E = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}$.

Do AB > AC nên $\widehat {ACB} > \widehat {ABC}$, suy ra $\frac{1}{2}\widehat {ACB} > \frac{1}{2}\widehat {ABC}$ hay $\widehat E > \widehat D$.

Trong tam giác AED vì $\widehat {A{\rm{ED}}} > \widehat {A{\rm{D}}E}$ nên AD > AE.

Trong tam giác vuông ABI có AB là cạnh huyền nên AI < AB.

Trong tam giác vuông ACI có AC là cạnh huyền nên AI < AC.

Suy ra 2AI < AB + AC hay AI < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét ∆ABM và ∆DCM có: BM = CM; AM = MD; $\widehat {AMB} = \widehat {CMD}$,

do đó ∆ABM = ∆DCM (c.g.c). Suy ra AB = CD.

Trong tam giác ACD, ta có AD < CD + AC hay 2AM < AB + AC.

Suy ra AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

$\Delta ABE$ có C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của $\Delta ABE$.

BC = BD + DC = 2DC + DC = 3DC.

Do đó DC = $\frac{1}{3}$BC, BD = $\frac{2}{3}$BC.

Trên đường trung tuyến BC có điểm D thỏa mãn BD = $\frac{2}{3}$BC nên D là trọng tâm của $\Delta ABE$.

Do đó AD là đường trung tuyến của $\Delta ABE$.

$\Delta ABE$ có AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên $\Delta ABE$ cân tại A.

Do ∆ABC cân tại A nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (cùng bù với góc $\widehat {ABC}$, $\widehat {ACB}$).

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

$\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (chứng minh trên),

BD = CE (theo giả thiết).

Suy ra ∆ABD = ∆ACE (c.g.c), do đó AD = AE (hai cạnh tương ứng), suy ra tam giác ADE cân tại A.

Ta có: DM = DB + BM, EM = EC + CM, mà BD = CE (gt), BM = CM (M là trung điểm của BC), suy ra DM = EM.

Xét ∆AMD và ∆AME có:

AM chung,

AD = AE (chứng minh trên),

DM = EM (chứng minh trên).

Do đó ∆AMD = ∆AME (c.c.c), suy ra $\widehat {DAM} = \widehat {EAM}$ và $\widehat {DMA} = \widehat {EMA}$, suy ra AM là phân giác của góc DAE.

Mặt khác do $\widehat {DMA}$ và $\widehat {EMA}$ là hai góc bù nhau nên $\widehat {DMA} = \widehat {EMA}$ = 90° hay AM ⊥ DE.

Vì ∆ABD = ∆ACE (chứng minh trên) nên $\widehat {DAB} = \widehat {EAC}$.

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACK, ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A); $\widehat {DAB} = \widehat {EAC}$, do đó ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra BH = CK (hai cạnh tương ứng).

Gọi giao điểm của AM và HK là N.

Xét ∆ANH và ∆ANK, có: AH = AK (do ∆ABH = ∆ACK), $\widehat {DAM} = \widehat {EAM}$ (chứng minh trên), AN là cạnh chung. Do đó ∆ANH = ∆ANK, suy ra $\widehat {ANH} = \widehat {ANK}$ (hai góc tương ứng), mà hai góc này bù nhau nên $\widehat {ANH} = \widehat {ANK}$= 90°, suy ra AM ⊥ HK.

Ta có AM ⊥ HK, mà AM ⊥ BC (do AM ⊥ DE) nên HK // BC.