Giải VTH Toán 7 CTST Bài 9. Tính chất ba đường phân giác của tam giác có đáp án

Theo định nghĩa về đường phân giác của tam giác, khi cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Khi đó AD được gọi là đường phân giác của tam giác ABC.

Chọn đáp án D.

Ta có định lí về tính chất ba đường phân giác của tam giác: Ba đường phân giác giao nhau tại một điểm, điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.

Chọn đáp án B.

Theo đề bài, đường tròn tâm A cắt AB và AC lần lượt tại M và N, suy ra AM = AN.

Từ M và N kẻ hai cung tròn có cùng bán kính cắt nhau tại P, ta được MP = NP.

Xét tam giác AMP và tam giác ANP

AM = AN.

MP = NP.

Theo đề bài, đường tròn tâm A cắt AB và AC lần lượt tại M và N, suy ra AM = AN.

Từ M và N kẻ hai cung tròn có cùng bán kính cắt nhau tại P, ta được MP = NP.

Xét tam giác AMP và tam giác ANP

AM = AN.

MP = NP.

Chung AP.

Vậy tam giác AMP bằng tam giác ANP theo trường hợp c.c.c.

Suy ra $\widehat{\text{MAP}}=\widehat{\text{NAP}}$ hay $\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{CAD}}\text{​}$.

Như vậy AD là đường phân giác của góc A.

Vẽ ba tam giác nhọn, tù, vuông và với mỗi tam giác, vẽ ba đường phân giác của chúng.

Tam giác nhọn ABC có các đường phân giác AP, CM, CN.

Tam giác tù ABC các đường phân giác AM, BN, CP.

Tam giác AOB vuông tại A có các đườnng phân giác AA’, BB’, CC’.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}$ và AC = AB.

BM là đường phân giác của tam giác ABC nên $\widehat{\text{ABM}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ABC}}\text{​}$.

CN là đường phân giác của tam giác ABC nên $\widehat{\text{ACN}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{ACB}}\text{​}$.

Suy ra $\widehat{\text{ABM}}\text{​}$ = $\widehat{\text{ACN}}$.

Xét tam giác ABM và tam giác ACN.

AB = AC.

Chung góc A.

$\widehat{\text{ABM}}\text{​}$ = $\widehat{\text{ACN}}$.

Vậy tam giác ABM bằng tam giác ACN theo trường hợp g.c.g. Suy ra BM = CN.

Trong tam giác ABC, hai đường phân giác AD và CE cắt nhau tại O nên O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC ( tính chất ba đường phân giác của tam giác). Suy ra BO cũng là đường phân giác của tam giác ABC.

Kéo dài BO cắt AC tại F’ ta có $\widehat{\text{ABF'}}=\widehat{\text{CBF'}}$. Xét tam giác ABF’ và CBF’.

AB = CB ( do tam giác ABC cân tại B).

$\widehat{\text{ABF'}}=\widehat{\text{CBF'}}$.

Cạnh chung BF’.

Vậy tam giác ABF’ bằng tam giác CBF’ theo trường hợp c.g.c. Suy ra $\widehat{\mathrm{BF}'A}=\widehat{\text{BF'C}}$ (hai góc tương ứng) mà $\widehat{\mathrm{BF}'A}+\widehat{\text{BF'C}}=180^{\circ}$ nên $\widehat{\mathrm{BF}'A}=\widehat{\text{BF'C}}=90^{\circ}$ hay BF’ ⊥ AC hay OF’ ⊥ AC.

Theo đề bài OF ⊥ AC, nên F’ trùng với F.

Vậy BF cũng là đường phân giác của góc B.

Xét hai tam giác OMA và OPA:

OM = OP ( gt).

$\widehat{\text{OMA}}=\widehat{\text{OPA}}=90^{\circ}$.

Cạnh chung OA.

Vậy tam giác OMA bằng tam giác OPA theo trường hợp c.g.c. Suy ra $\widehat{\text{OAM}}=\widehat{\text{OAP}}$ hay AO là tia phân giác của góc A. (1)

Tương tự xét hai tam giác OCP và OCN:

OP = ON (gt).

$\widehat{\text{OPC}}=\widehat{\text{ONC}}\text{​}$.

Cạnh chung OC.

Vậy tam giác OCP bằng tam giác OCN theo trường hợp c.g.c. Suy ra $\widehat{\text{OCP}}=\widehat{\text{OCN}}$ hay CO là tia phân giác của góc A. (1)

Từ (1) và (2) suy ra O là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC.

Xét tam giác MIE có $\widehat{\text{MIE}}=\widehat{\text{MEI}}\text{​}$do:

$\widehat{\text{MIE​}}$= $\widehat{\text{IEF}}$ ( do MN // EF và đây là 2 góc so le trong).

$\widehat{\text{MEI}}$ = $\widehat{\text{IEF}}$ ( do EI là tia phân giác góc E).

Suy ra tam giác MIE cân tại M. Có MI = ME.

Tương tự, xét tam giác NIF có $\widehat{\text{NFI}}\text{​}=\widehat{\text{NIF}}\text{​}$ do:

$\widehat{\text{NIF}}$ = $\widehat{\text{IFE}}$ ( do MN // EF và đây là hai góc so le trong).

$\widehat{\text{NFI}}$ = $\widehat{\text{IFE}}$ ( do FI là tia phân giác góc F).

Suy ra tam giác NIF cân tại N. Có NI = NF.

Ta có: MN = NI + MI = NF + ME.

Vậy MN = NF + ME.

Kẻ 2 đường phân giác của tam giác ABC cắt nhau tại O. Ta có O là giao ba đường phân giác của tam giác.

Điểm O nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. ( tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Vậy điểm O là điểm giấu vàng.