Giải VTH Toán 7 Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Vì x, x + 20°, x + 10° là số đo ba góc trong một tam giác nên ta có:

x + (x + 10°) + (x + 20°) = 180° ⇒ x = 50°

Vì y, 2y, 60° là số đo ba góc trong một tam giác nên ta có:

y + 2y + 60° = 180° ⇒ y = 30°

Xét hai tam giác MAN và MBN có:

AM = BM (theo giả thiết).

AN = BN (theo giả thiết).

MN là cạnh chung.

Vậy ∆MAN = ∆MBN (c – c – c). Suy ra $\widehat{MAN}=\widehat{MBN}$ (2 góc tương ứng).

Xét hai tam giác AOM và BON có:

$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$, OA = OB (theo giả thiết);

$\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (góc chung).

Vậy ∆AOM = ∆BON (g – c – g).

Do đó, AM = BN (2 cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác NAB và MBA có:

AN = BM, $\widehat{BAN}=\widehat{ABM}$ (theo giả thiết);

AB là cạnh chung.

Vậy ∆NAB = ∆MBA (c – g – c). Do đó $\widehat{BAM}=\widehat{ABN}$ (2 góc tương ứng).

a) Ta thấy hai tam giác BAM và tam giác CAN vuông tại A và có:

AB = AC, $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (do ∆ABC cân tại A)

Vậy ∆BAM = ∆CAN (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Ta có: $\widehat{B}=\widehat{C}$ và $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$. Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$.

Mặt khác $\widehat{NAB}=\widehat{CAB}-\widehat{CAN}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}=\widehat{B}$.

Do ∆ANB cân tại N. Tương tự, ta có:

$\widehat{MAC}=\widehat{CAB}-\widehat{BAM}=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}=\widehat{C}$.

Suy ra ∆AMC cân tại M.

a) Do hai góc B và C trong tam giác vuông ABC là phụ nhau nên:

$\widehat{MCA}=\widehat{BCA}=90^{\circ}\widehat{ABC}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}=\widehat{CAM}.$

Suy ra tam giác CAM cân tại M.

b) Ta có:

$\widehat{BAM}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.$

$\widehat{AMB}=180^{\circ}-\widehat{MAB}-\widehat{B}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$.

Vậy tam giác BAM có ba góc bằng nhau nên nó là tam giác đều.

c) Từ a) và b) suy ra MA = MC (∆AMC cân tại M), MA = MB (∆BAM đều).

Vì vậy MB = MC, hay M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC cân tại đỉnh A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$. Do đó:

$\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}=2\widehat{C}$

Từ giả thiết và do tổng ba góc trong tam giác ABC bằng 180°, ta có:

$180^{\circ}=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=3\widehat{C}\Rightarrow \widehat{C}=60^{\circ}$.

Từ đó suy ra $\widehat{A}=2\widehat{C}=120^{\circ},\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$.

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

Tam giác ACB và tam giác ADB vuông tại A và có:

AB là cạnh chung;

AC = AD (theo cách dựng).

Vậy ∆ACB = ∆ADB (hai cạnh góc vuông). Do đó BC = BD. Vậy tam giác BCD là tam giác cân tại B. Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=30^{\circ}$. Như vậy:

$\widehat{CBD}=\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=2\widehat{ABC}=60^{\circ}$;

$\widehat{CDB}=\widehat{DCB}=\frac{\widehat{CDB}+\widehat{DCB}}{2}=\frac{180^{\circ}-\widehat{DBC}}{2}=60^{\circ}$.

Vậy CBD là tam giác đều. Do đó BC = DC = 2AC (đpcm).