Giải VTH Toán 7 Bài 16. Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng có đáp án

Đáp án đúng là A

Mọi tam giác cần đều có hai cạnh bằng nhau.

Đáp án đúng là D

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

Ta thấy ∆BEC và ∆CFB lần lượt vuông tại đỉnh E, F và có:

BC là cạnh chung

$\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC cân tại A).

Vậy ∆BEC = ∆CFB (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó BE = CF.

Xét tam giác ABM và tam giác ACM, ta có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ (do ∆ABC cân tại A)

MB = MC (theo giả thiết)

Vậy ∆ABM = ∆ACM (c – g – c)

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (2 góc tương ứng), hay AM là tia phân giác của góc BAC.

Đồng thời $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{\widehat{AMB}+\widehat{AMC}}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$, hay AM ⊥ BC.

a)

Xét hai tam giác ABM và ACM vuông tại đỉnh M và có:

MB = MC (chứng minh trên).

AM là cạnh chung.

Vậy ∆ABM = ∆ACM (hai cạnh góc vuông).

Do đó AB = AC (2 cạnh tương ứng) hay tam giác ABC cân tại A.

b)

Kéo dài AM một đoạn MD sao cho MD = MA.

Hai tam giác MAB và MDC có:

MB = MC (theo giả thiết).

$\widehat{AMB}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh).

MA = MD (theo cách dựng).

Do đó ∆MAB = ∆MDC (c – g – c). Do đó AB = DC (1).

Mặt khác ∆ACD có $\widehat{CAD}=\widehat{CAM}=\widehat{BAM}=\widehat{CDM}=\widehat{CDA}$

Vậy tam giác ∆ACD cân tại C và do đó AC = CD (2).

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC, hay tam giác ABC cân tại A.

Ta thấy tam giác ABD và tam giác ACD vuông tại D, và có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

AD là cạnh chung.

Vậy ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – cạnh huyền).

Do đó BD = CD (2 cạnh tương ứng). Vậy D là trung điểm của đoạn thẳng BC và do đó AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hai tam giác ADB và ADC cùng vuông tại D và có:

AD là cạnh chung;

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (theo giả thiết).

Vậy ∆ADB = ∆ADC (cạnh góc vuông – góc nhọn). Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng), hay ∆ABC cân tại A.

Do A thuộc trung trực BC nên AB = AC, hay ∆ABC cân tại A. Từ đây suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=60^{\circ}$. Do tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180° nên:

$\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$.

Vậy tam giác ABC có ba góc bằng nhau nên nó là tam giác đều, và do đó CA = CB.