Giải SGK Toán lớp 11 – KNTT – Tập 2 Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực có đáp án

Sau bài học, ta giải quyết được bài toán như sau:

Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là

100 ∙ (1 + 6%)$^{3}$ = 119,1016 (triệu đồng).

Ta có: (1,5)$^{2}$= 1,5 ∙ 1,5 = 2,25.

${(-\frac{2}{3})}^{3}=(-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{2}{3})=-\frac{8}{27}$.

${(\sqrt{2})}^{4}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\cdot 2=4$.

a) Ta có 5 980 000 000 000 000 000 000 000 = 5,98 ∙ 10$^{24}$.

Vậy khối lượng của Trái Đất khoảng 5, 98 ∙ 10$^{24}$ kg.

b) Ta có 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 = 1,67262 ∙ 10$^{– 27}$.

Vậy khối lượng của hạt proton khoảng 1,67262 ∙ 10$^{– 27}$ kg.

a, $\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{{(-5)}^{3}}=-5$

b, $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{{(\frac{1}{3})}^{4}}=\frac{1}{3}$

a) Ta có $\sqrt[3]{-8}\cdot \sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{{(-2)}^{3}}\cdot \sqrt[3]{{3}^{3}}=(-2)\cdot 3=-6$

và $\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}=\sqrt[3]{{(-2)}^{3}\cdot {3}^{3}}=\sqrt[3]{{[(-2)\cdot 3]}^{3}}=\sqrt[3]{{(-6)}^{3}}=-6$.

Vậy $\sqrt[3]{-8}\cdot \sqrt[3]{27}$ = $\sqrt[3]{(-8)\cdot 27}$.

b) Ta có $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{\sqrt[3]{{(-2)}^{3}}}{\sqrt[3]{{3}^{3}}}=\frac{-2}{3}$

và $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}=\sqrt[3]{{(\frac{-2}{3})}^{3}}=\frac{-2}{3}$.

Vậy $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$ = $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$.

b) Ta có ${a}^{\frac{m}{n}}={({a}^{\frac{1}{n}})}^{m}$.

Theo câu a, ta có ${a}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ nên ${a}^{\frac{m}{n}}={({a}^{\frac{1}{n}})}^{m}={(\sqrt[n]{a})}^{m}=\sqrt[n]{{a}^{m}}$.

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

${3}^{{r}_{1}}={3}^{1}=3$;

${3}^{{r}_{2}}={3}^{1{,}4}=4{,}655536722$;

${3}^{{r}_{3}}={3}^{1{,}41}=4{,}706965002$;

${3}^{{r}_{4}}={3}^{1{,}4142}=4{,}72873393$;

${3}^{\sqrt{2}}=4{,}728804388$.

b) Ta có:

$|{3}^{\sqrt{2}}-{3}^{{r}_{1}}|=4{,}728804388-3=1{,}728804388$;

$|{3}^{\sqrt{2}}-{3}^{{r}_{2}}|=4{,}728804388-4{,}655536722=0{,}073267666$;

$|{3}^{\sqrt{2}}-{3}^{{r}_{3}}|=4{,}728804388-4{,}706965002=0{,}021839386$;

$|{3}^{\sqrt{2}}-{3}^{{r}_{4}}|=4{,}728804388-4{,}72873393=0{,}000070458$

Vậy sai số tuyệt đối giữa ${3}^{\sqrt{2}}$ và ${3}^{{r}_{n}}$ là giảm dần khi n càng lớn.

Số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là

100 ∙ (1 + 6%)$^{3}$ = 119,1016 (triệu đồng).

a) ${(\frac{1}{5})}^{-2}={5}^{2}=25$.

b) ${4}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{4}^{3}}=\sqrt{64}=8$.

c) ${(\frac{1}{8})}^{-\frac{2}{3}}={8}^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{{8}^{2}}=\sqrt[3]{{({2}^{3})}^{2}}=\sqrt[3]{{({2}^{2})}^{3}}={2}^{2}=4$.

d) ${(\frac{1}{16})}^{-0{,}75}={16}^{0{,}75}={16}^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{16}^{3}}=\sqrt[4]{{({2}^{4})}^{3}}=\sqrt[4]{{({2}^{3})}^{4}}={2}^{3}=8$.

a) ${27}^{\frac{2}{3}}+{81}^{-0{,}75}-{25}^{0{,}5}$

$={({3}^{3})}^{\frac{2}{3}}+{({3}^{4})}^{-\frac{3}{4}}-{({5}^{2})}^{\frac{1}{2}}$

= 3$^{2}$ + 3$^{– 3}$– 5

= 9 + $\frac{1}{27}$ – 5

= $\frac{109}{27}$.

b) ${4}^{2-3\sqrt{7}}\cdot {8}^{2\sqrt{7}}$

$={({2}^{2})}^{2-3\sqrt{7}}\cdot {({2}^{3})}^{2\sqrt{7}}$

$={2}^{4-6\sqrt{7}}\cdot {2}^{6\sqrt{7}}$

$={2}^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}={2}^{4}=16$.

b, $B={(\frac{{x}^{\sqrt{3}}}{{y}^{\sqrt{3}-1}})}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{{x}^{-\sqrt{3}-1}}{{y}^{-2}}=\frac{{x}^{\sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}+1)}}{{y}^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}\cdot \frac{{x}^{-\sqrt{3}-1}}{{y}^{-2}}=\frac{{x}^{3+\sqrt{3}}}{{y}^{2}}\cdot \frac{{x}^{-\sqrt{3}-1}}{{y}^{-2}}$

$=\frac{{x}^{3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}}{{y}^{2+(-2)}}=\frac{{x}^{2}}{{y}^{0}}={x}^{2}$

Ta có $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{1+2\sqrt{3}+{(\sqrt{3})}^{2}}-\sqrt{1-2\sqrt{3}+{(\sqrt{3})}^{2}}$

$=\sqrt{{(1+\sqrt{3})}^{2}}-\sqrt{{(1-\sqrt{3})}^{2}}$ $=(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})=2$ (do $1-\sqrt{3}<0$).

a) Ta có $6\sqrt{3}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{108}$ và $3\sqrt{6}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}=\sqrt{54}$.

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108}>\sqrt{54}$ hay $6\sqrt{3}>3\sqrt{6}$.

Lại có 5 > 1 nên ${5}^{6\sqrt{3}}$ > ${5}^{3\sqrt{6}}$.

b) Ta có ${(\frac{1}{2})}^{-\frac{4}{3}}={2}^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot {2}^{\frac{2}{3}}={2}^{\frac{1}{2}}\cdot {2}^{\frac{2}{3}}={2}^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}={2}^{\frac{7}{6}}$.

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}>\frac{7}{6}$ nên ${2}^{\frac{4}{3}}>{2}^{\frac{7}{6}}$, tức là ${(\frac{1}{2})}^{-\frac{4}{3}}$ > $\sqrt{2}\cdot {2}^{\frac{2}{3}}$.

Ta có P = 120, r = 5% = 0,05.

Do bác An gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong một năm, tức là n = 2. Sau 2 năm thì ta được 4 lần tính lãi nên N = 4.

Vậy số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm là

$120\cdot {(1+\frac{0{,}05}{2})}^{4}\approx 132{,}46$ (triệu đồng).

Thay t = 20 vào công thức $A=19\cdot {2}^{\frac{t}{30}}$ ta được

$A=19\cdot {2}^{\frac{20}{30}}\approx 30$ (triệu người).

Vậy sau 20 năm nữa kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là khoảng 30 triệu người.