Giải SGK Toán 9 CTST Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai có đáp án

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

• Hình vuông bé (màu cam) có diện tích là 1 800 m$^{2}$.

Khi đó, cạnh thửa ruộng bé hình vuông là: $\sqrt{1\ 800}=\sqrt{900\ .\ 2}=30\sqrt{2}\text{(m)}$.

Chu vi thửa ruộng bé là: $30\sqrt{2}\ .\ 4=120\sqrt{2}\text{(m)}$.

• Hình vuông lớn có diện tích (màu vàng) là 3 200 m$^{2}$.

Khi đó, cạnh thửa ruộng lớn hình vuông là: $\sqrt{3\ 200}=\sqrt{1\ 600\ .\ 2}=40\sqrt{2}\text{(m)}$.

• Hình tam giác vuông (màu xanh) có hai cạnh góc vuông là hai cạnh của của hai hình vuông trong hình vẽ trên.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông (màu xanh), ta có:

Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông (màu xanh) là:

${(30\sqrt{2})}^{2}+{(40\sqrt{2})}^{2}=\sqrt{1\ 800+3\ 200}$

$=\sqrt{5\ 000}=\sqrt{2\ 500\ .\ 2}=50\sqrt{2}\text{(m)}$.

Chu vi tam giác vuông là: $30\sqrt{2}+40\sqrt{2}+50\sqrt{2}=120\sqrt{2}\text{(m)}$

Vậy khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé.

a) Diện tích mỗi hình vuông là: $\text{S}=\frac{1}{2}{\text{m}}^{\text{2}}$.

Mà S = a$^{2}$ suy ra $a=\sqrt{S}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ (\text{m)}$.

Ta thấy $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\ .\ \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy kết quả của 2 bạn đều đúng.

b) Cách tính của bạn An là $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$, ta tính bằng cách tính căn bậc hai và một phép tính nghịch đảo.

Cách tính của bạn Mai là $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ta tính bằng cách tính căn bậc hai và một phép tính chia.

Do đó, bạn Mai sẽ tìm ra đáp số nhanh hơn vì phép chia cho số tự nhiên sẽ thực hiện nhanh hơn phép tính nghịch đảo của một số vô tỉ.

a) Vì AMIN là hình vuông nên AM = IN = 2 cm, $\widehat{ANI}=90^{\circ}$.

Xét tam giác ANI vuông tại N, áp dụng định lí Pythagore, ta có

AI$^{2}$ = AN$^{2}$ + IN$^{2}$= 2$^{2}$ + 2$^{2}$= 8.

Suy ra $AI=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ (\text{cm)}$.

Vì CEIF là hình vuông nên IE = CF = 3 cm, $\widehat{IEC}=90^{\circ}$.

Xét tam giác IEC vuông tại E, áp dụng định lí Pythagore, ta có

IC$^{2}$ = IE$^{2}$ + EC$^{2}$= 3$^{2}$ + 3$^{2}$= 18.

Suy ra $IC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ (\text{cm).}$

Vậy độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF lần lượt là $2\sqrt{2}\text{cm}$ và $3\sqrt{2}\text{cm.}$

b)

Cách 1: Độ dài đường chéo hình vuông là:

$AC=AI+IC=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ (\text{cm)}$.

Cách 2:

• Vì BMIE là hình chữ nhật nên BM = IE = 3 cm.

• Vì DNIF là hình chữ nhật nên IN = DF = 2 cm.

Độ dài cạnh AB là: AB = AM + BM = 2 + 3 = 5 (cm).

Độ dài cạnh BC là: BC = BE + EC = 2 + 3 = 5 (cm).

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAC}=90^{\circ}$, suy ra tam giác ABC vuông tại B.

Xét tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore, ta có

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$= 5$^{2}$ + 5$^{2}$= 50.

Suy ra $AC=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\ (\text{cm)}$.

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông ABCD là $5\sqrt{2}\text{cm}$.