Giải SGK Toán 9 CTST Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn có đáp án

Sau bài học này, chúng ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:

⦁ Hình a): Đường chân trời và Mặt Trời không giao nhau.

⦁ Hình b): Đường chân trời tiếp xúc với Mặt Trời.

⦁ Hình c): Đường chân trời cắt Mặt Trời.

⦁ Hình 1a): đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung.

⦁ Hình 1b): đường thẳng a và đường tròn (O) có một điểm chung là điểm C.

⦁ Hình 1c): đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung là điểm A và B.

a)

Ta có d = 4 cm, R = 5 cm.

Vì d < R nên đường thẳng c cắt đường tròn (J; 5 cm) tại hai điểm.

b)

Ta có d = 5 cm, R = 5 cm.

Vì d = R nên đường thẳng c tiếp xúc với đường tròn (J; 5 cm) tại điểm K.

c)

Ta có d = 6 cm, R = 5 cm.

Vì d > R nên đường thẳng c và đường tròn (J; 5 cm) không giao nhau.

Do sợi dây tiếp xúc với bánh xe nên khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp bằng bán kính bánh xe.

Vậy khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp là: $R=\frac{72}{2}=36\text{(cm).}$

a) Vì điểm A nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = R.

Ta có OA vuông góc với đường thẳng d tại A nên OA là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d.

Do OA, OM lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng d nên OA < OM.

Mà OA = R nên OM > R.

b) Ta có OA = R nên d tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A.

Mà khi đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R) thì đường thẳng d và đường tròn (O; R) có duy nhất một điểm chung.

Vậy d và (O) không thể có điểm chung nào khác ngoài A.

a) Vì AB, AC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C nên AB ⊥ OB và AC ⊥ OC.

Xét ∆ABO và ∆ACO có:

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^{\circ};$

OB = OC (cùng là bán kính của đường tròn (O));

OA là cạnh chung.

Do đó ∆ABO = ∆ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Theo câu a, ∆ABO = ∆ACO, suy ra:

⦁ OB = OC; AB = AC (hai cạnh tương ứng);

⦁ $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^{\circ};\widehat{BAO}=\widehat{CAO};\ \widehat{BOA}=\widehat{COA}$ (các cặp góc tương ứng).

Vì ME, MF lần lượt là hai tiếp tuyến tại E, F của đường tròn (I) và cắt nhau tại M nên:

⦁ ME ⊥ IE tại E, MF ⊥ IF tại F hay $\widehat{IEM}=90^{\circ};\ \widehat{IFM}=90^{\circ};$

⦁ MI là tia phân giác của góc EMF. Do đó $\widehat{EMI}=\frac{1}{2}\widehat{EMF}=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ}=30^{\circ}.$

Xét tứ giác IEMF có: $\widehat{EIF}+\widehat{IEM}+\widehat{EMF}+\widehat{IFM}=360^{\circ}$ (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra $\widehat{EIF}=180^{\circ}-(\widehat{IEM}+\widehat{EMF}+\widehat{IFM})$

Hay $\widehat{EIF}=360^{\circ}-(90^{\circ}+60^{\circ}+90^{\circ})=120^{\circ}.$

b) Vì E thuộc đường tròn (I; 6 cm) nên IE = 6 cm.

Xét ∆IEM vuông tại E, ta có: $\sin \widehat{EMI}=\frac{IE}{MI}$

Suy ra $MI=\frac{IE}{\sin \widehat{EMI}}=\frac{6}{\sin 30^{\circ}}=12\text{(cm).}$

a) Ta có MA, MB lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; 15 cm) tại A, B và cắt nhau tại M nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB và MA = MB.

Xét ∆OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có: OM$^{2}$ = OA$^{2}$ + MA$^{2}$.

Suy ra MA$^{2}$ = OM$^{2}$ – OA$^{2}$ = 35$^{2}$ – 15$^{2}$ = 1 000.

Do đó $MA=\sqrt{1\ 000}\approx 31{,}6\text{(cm).}$

Vậy MA = MB ≈ 31,6 cm.

b) Xét ∆OAM vuông tại A, ta có: $\sin \widehat{AMO}=\frac{OA}{OM}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}.$

Suy ra $\widehat{AMO}\approx 25^{\circ}{23}^{'}.$

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; 15 cm) cắt nhau tại M nên MA là tia phân giác của góc AMB.

Do đó $\widehat{AMB}=2\widehat{AMO}\approx 2\cdot 25^{\circ}{23}^{'}=50^{\circ}{46}^{'}.$

Xét tứ giác OAMB có: $\widehat{OAM}+\widehat{AMB}+\widehat{OBM}+\widehat{AOB}=360^{\circ}$ (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra $\widehat{AOB}=360^{\circ}-(\widehat{OAM}+\widehat{AMB}+\widehat{OBM})$

Do đó $\widehat{AOB}\approx 360^{\circ}-(90^{\circ}+50^{\circ}{46}^{'}+90^{\circ})=360^{\circ}-230^{\circ}{46}^{'}=129^{\circ}{14}^{'}.$

Xét ∆ABC có:

⦁ AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 9$^{2}$ + 12$^{2}$ = 225;

⦁ AC$^{2}$ = 15$^{2}$ = 225.

Do đó AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = AC$^{2}$,

Theo định lí Pythagore đảo, ta có ∆ABC vuông tại B.

Suy ra AB ⊥ BC hay AB ⊥ OB.

Xét đường tròn (O) có AB ⊥ OB tại B thuộc đường tròn (O) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có:

⦁ AE, AM là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A nên AE = AM = 6 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⦁ BM, BP là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại B nên BM = BP = 3 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⦁ CP, CE là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C nên CP = CE = 8 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + CA = AM + BM + BP + CP + CE + AE

= 6 + 3 + 3 + 8 + 8 + 6 = 34 (cm).