Giải SGK Toán 9 CTST Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông có đáp án

Để tính được chiều cao BC thì ta dựa vào tỉ số lượng giác.

Xét tam giác ABC vuông tại B có AB = 64 m và $\widehat{A}=49^{\circ}$.

Ta có $\tan A=\frac{BC}{AB}$ hay $\tan 49^{\circ}=\frac{BC}{64}$.

Suy ra BC = 64 . tan 49° ≈ 73,62 (m).

Vậy để tính chiều cao BC khi biết khoảng cách AB và góc A ta dựa vào tỉ số lượng giác.

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

a) $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}$ suy ra b = a . sin B;

$\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$ suy ra c = a . cos B.

b) $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$ suy ra b = c . tan B;

$\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$ suy ra c = b . cot B.

a) Hình 3a: Xét tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B}=32^{\circ}$, ta có:

x = AB = AC . cot B = 9 . cot 32° ≈ 14,40.

Vậy x ≈ 14,40.

b) Hình 3b: Xét tam giác DEF vuông tại F, $\widehat{E}=48^{\circ}$, ta có:

x = DF = EF . tan E = 5 . tan 48° ≈ 5,55.

Vậy x ≈ 5,55.

Xét tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{A}=48^{\circ}$, ta có:

BC = AB . sin 42° = 16 . sin 42° ≈ 10,71 (m).

Vậy chiều dài BC của đoạn dây cáp khoảng 10,71 m.

Ta xét các trường hợp sau:

– Trường hợp 1 khi biết độ dài hai cạnh của tam giác vuông thì ta sẽ tìm được cạnh còn lại (áp dụng định lí Pythagore) và các góc (áp dụng tỉ số lượng giác).

– Trường hợp 2 khi biết được số đo hai góc thì ta tính được số đo của góc còn lại (dựa vào định lí tổng ba góc trong một tam giác) nhưng chưa đủ dữ kiện để tính độ dài các cạnh của tam giác.

– Trường hợp 3 khi biết một cạnh và một góc của tam giác vuông ta sẽ tìm được cạnh còn lại và các góc (áp dụng tỉ số lượng giác).

Vậy trong các trường hợp đã cho, trường hợp 1 và trường hợp 3 ta có thể tính được tất cả các cạnh và các góc của tam giác.

Xét tam giác OHA vuông tại H, ta có

AH = OH . tan 42° = 4 . tan 42° ≈ 3,6 (m).

Xét tam giác OHB vuông tại H, ta có

HB = OH . tan 28° = 4 . tan 28° ≈ 2,1 (m).

Chiều cao AB của cây là: AH + HB ≈ 3,6 + 2,1 = 5,7 (m).

Vậy chiều cao AB của cây khoảng 5,7 m.

Xét tam giác ABC vuông tại B có $\widehat{BAC}=68^{\circ}$, ta có:

• $AB=AC\ .\ \cos \widehat{BAC}=16\ .\ \cos 68^{\circ}=6\text{(cm)}$

• $BC=AC\ .\ \sin \widehat{BAC}=16\ .\ \sin 68^{\circ}=14{,}8\text{(cm)}$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có AB = CD = 6 cm và BC = AD = 14,8 cm.

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là AB = 6 cm và BC = 14,8 cm, CD = 6 cm, AD = 14,8 cm.

Nhìn vào hình ta có tam giác vuông ABC như hình sau:

Xét tam giác ABC vuông tại B có $\widehat{ACB}=35^{\circ}$ nên $AB=BC\ .\ \sin \widehat{ACB}=4\ .\ \sin 35^{\circ}\approx 2{,}3\text{(m)}$

Vậy độ cao của vật so với mặt đất khoảng 2,3 m.