Giải SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2. Hình nón có đáp án

Đặc điểm chung của các vật ở trong hình trên là có đáy là hình tròn, có 1 đỉnh, một mặt cong.

Một số vật thể trong thực tế có hình dạng tương tự như: mũ sinh nhật, quả dâu tây, cọc tiêu giao thông đường bộ,...

Chiếc mũ ở Hình 4 có dạng hình nón, trong đó:

• Bán kính đáy có độ dài r = 12 cm.

• Chiều cao là h = 31 cm.

• Độ dài đường sinh là: $l=\sqrt{{12}^{2}+{31}^{2}}=\sqrt{1105}\text{(cm).}$

HS thực hành tạo lập hình nón có chiều cao 12 cm và bán kính đáy 5 cm theo các bước sau:

Bước 1: Cắt tấm bìa hình quạt tròn có bán kính bằng độ dài đường sinh $l=\sqrt{{5}^{2}+{12}^{2}}=13\text{(cm),}$ độ dài cung của hình quạt tròn bằng 10π cm ≈ 31 cm.

Bước 2: Cắt tấm bìa hình tròn bán kính 5 cm.

Bước 3: Ghép và dán hai mép quạt lại với nhau sao cho cung của nó tạo thành đường tròn, rồi dán tấm bìa hình tròn ở trên vào làm đáy, ta được hình nón như hình vẽ.

a) Độ dài m của cung BB*'* bằng chu vi đường tròn đáy, ta có m = 2πr.

b) Gọi n là số đo cung BB*'* của hình quạt tròn.

Áp dụng công thức liên hệ số đo cung n và độ dài cung m của hình quạt tròn, ta có:

$\text{n}=\frac{\text{m}\cdot 180}{\text{π}l}$ (với l là bán kính hình quạt tròn).

Số đo cung BB*'* là: $\text{n}=\frac{2\text{πr}\cdot 180}{\text{π}l}=\frac{360\text{r}}{l}.$

Vậy số đo cung BB*'* là $\text{n}=\frac{360\text{r}}{l}.$

c) Diện tích của hình quạt tròn là: $\text{S}=\frac{\text{π}{l}^{2}\text{n}}{360}=\frac{\text{π}{l}^{2}\cdot \frac{360\text{r}}{l}}{360}=\frac{\text{π}l\cdot 360\text{r}}{360}=\text{πr}l.$

Vậy diện tích của hình quạt tròn là πr*l*.

Bán kính đáy của hình nón là: $r=\frac{d}{2}=\frac{10}{2}=5\ (m).$

Độ dài đường sinh của hình nón là: $l=\sqrt{{\text{r}}^{2}+{\text{h}}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{12}^{2}}=13\text{(m)}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S$_{xq}$ = πr*l* = π . 5 . 13 = 65π ≈ 204,20 (m$^{2}$).

Diện tích đáy của hình nón là:

S$_{đáy}$= π . r$^{2}$ = π . 5$^{2}$ = 25π (m$^{2}$).

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S$_{tp}$ = S$_{xq}$ + S$_{đáy}$= 65π + 25π = 90π ≈ 282,74 (m$^{2}$).

Vậy hình nón có diện tích xung quanh khoảng 204,20 m$^{2}$ và diện tích toàn phần khoảng 282,74 m$^{2}$.

a) Thể tích của bình hình trụ là: V = πr$^{2}$h.

b) Trong Hình 8b) ta thấy thể tích cái bình hình trụ gấp 3 lần cái gàu hình nón.

Do đó, thể tích của gàu hình nón là: ${V}^{'}=\frac{V}{3}=\frac{1}{3}π{r}^{2}h.$

Thể tích của hình nón nón có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 4 cm là: $V=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=\frac{1}{3}π\cdot {6}^{2}\cdot 4=48π\ (c{m}^{3}).$

Vậy thể tích của hình nón có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 4 cm là 48π cm$^{3}$.

Thể tích khối lập phương là: V$_{1}$ = 6$^{3}$ = 216 (cm$^{3}$).

Bán kính mặt đáy của phần khoét hình nón là:

$r=\frac{4}{2}=2\ (cm).$

Thể tích phần khoét hình nón là:

${V}_{2}=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot π\cdot {2}^{2}\cdot 6=8π\ (c{m}^{3}).$

Thể tích khối gỗ còn lại là:

V = V$_{1}$ – V$_{2}$ = 216 – 8π ≈ 191 (cm$^{3}$).

Vậy thể tích của phần khối gỗ còn lại khoảng 191 cm$^{3}$.

Trong Hình 11, ta thấy:

• Hình 11a) là hình trụ;

• Hình 11b) là hình nón;

• Hình 11c) là hình chóp tam giác;

• Hình 11d) là hình nón.

Vậy trong các hình đã cho, hình 11b) và hình 11d) là hình nón.

a) Hình 12a có chiều cao h = 6 cm; bán kính đáy r = 3 cm.

Đường sinh hình nón là: $l=\sqrt{{\text{r}}^{2}+{\text{h}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}=3\sqrt{5}\text{(cm)}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

b) Hình 12b) có bán kính đáy r = 3 cm, đường sinh l = 5 cm.

Chiều cao của hình nón là:

${\text{h}}^{2}=\sqrt{{l}^{2}-{\text{r}}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4\text{(cm)}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S$_{xq}$ = π . 3 . 5 = 15π (cm$^{2}$).

c) Hình 12c) có bán kính đáy r = 9 cm, đường sinh l = 15 cm.

Chiều cao của hình nón là:

${\text{h}}^{2}=\sqrt{{l}^{2}-{\text{r}}^{2}}=\sqrt{{15}^{2}-{9}^{2}}=12\text{(cm)}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S$_{xq}$ = π . 9 . 15 = 135π (cm$^{2}$).

Ta tạo lập hình nón có bán kính đáy bằng 4 cm, chiều cao 7 cm theo các bước sau:

Bước 1: Độ dài đường sinh của hình nón là: $l=\sqrt{{4}^{2}+{7}^{2}}=\sqrt{65}\approx 8\text{(cm)}$

Cắt tấm bìa hình quạt tròn có bán kính bằng độ dài đường sinh 8 cm, độ dài cung của hình quạt tròn bằng 8π ≈ 25 (cm).

Bước 2: Cắt tấm bìa hình tròn bán kính 4 cm.

Bước 3: Ghép và dán hai mép quạt lại với nhau sao cho cung của nó tạo thành đường tròn, rồi dán tấm bìa hình tròn ở trên vào làm đáy, ta được hình nón.

a) Hình nón có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 12 cm.

Thể tích hình nón là: $V=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot π\cdot {6}^{2}\cdot 12=144π\ (c{m}^{3}).$

Vậy thể tích hình nón là 144π cm$^{3}$.

b) Hình nón có đường kính của mặt đáy là 7 m, chiều cao 10 m;

Bán kính mặt đáy của hình nón là: $r=\frac{7}{2}=3{,}5\ (cm).$

Thể tích hình nón là: $V=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot π\cdot {(3{,}5)}^{2}\cdot 10=\frac{245}{6}π\ ({m}^{3}).$

Vậy thể tích hình nón là $\frac{245}{6}π\ {m}^{3}.$

c) Hình nón có diện tích đáy 152 cm$^{2}$, chiều cao 6 cm.

Bán kính mặt đáy của hình nón là: $r=\sqrt{\frac{152}{π}}\ (cm).$

Thể tích hình nón là: $V=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot π\cdot {(\sqrt{\frac{152}{π}})}^{2}\cdot 10=304\ (c{m}^{3}).$

Vậy thể tích hình nón là 304 cm$^{3}$.

d) Hình nón có chu vi đáy 130 cm, chiều cao 24 cm.

Bán kính mặt đáy của hình nón là: $r=\frac{130}{2π}=\frac{65}{π}\ (cm).$

Thể tích hình nón là: $V=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=\frac{1}{3}\cdot π\cdot {(\frac{65}{π})}^{2}\cdot 24=\frac{33\ 800}{π}\ (c{m}^{3}).$

Vậy thể tích hình nón là $\frac{33\ 800}{π}\ c{m}^{3}.$

Bán kính đáy của phần mũ hình nón là: $r=\frac{35-10\cdot 2}{2}=7{,}5\ (cm).$

Diện tích xung quanh của phần mũ hình nón là:

S$_{xq}$ = πr*l* = π . 7,5 . 30 = 225π (cm$^{2}$).

$S=π\cdot {(\frac{35}{2})}^{2}-π\cdot {(7{,}5)}^{2}=250π\ (c{m}^{2})$

Tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt) là:

250π + 225π = 475π ≈ 1 492 (cm$^{2}$).

Vậy tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt) khoảng 1 492 cm$^{2}$.