Giải SGK Toán 9 CD Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có đáp án

Sau bài học này, chúng ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Gọi độ dài cạnh của khu đất có dạng hình vuông là x (m) (x > 50).

Khi đó, mảnh đất dạng hình chữ nhật để làm bể bơi có các kích thước lần lượt là x – 50 (m), x – 25 (m).

Do đó, diện tích của mảnh đất đó là: (x – 50)(x – 25) (m$^{2}$).

Theo bài, diện tích của bể bơi bằng 1 250 m$^{2}$ nên ta có phương trình:

(x – 50)(x – 25) = 1 250.

Giải phương trình:

(x – 50)(x – 25) = 1 250

x$^{2}$ – 25x – 50x + 1 250 – 1 250 = 0

x$^{2}$ – 75x = 0

x(x – 75) = 0

x = 0 hoặc x = 75.

Do x > 50 nên x = 75.

Vậy độ dài cạnh của khu đất là 75 m.

b) ⦁ Giải phương trình:

x – 3 = 0

x = 3.

Vậy phương trình x – 3 = 0 có nghiệm là x = 3.

2x + 1 = 0

2x = –1

$x=-\frac{1}{2}.$

Vậy phương trình 2x + 1 = 0 có nghiệm là $x=-\frac{1}{2}.$

⦁ Chứng tỏ nghiệm của phương trình x – 3 = 0 và nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0 đều là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0 như sau:

Thay x = 3 vào vế trái phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0, ta được:

Vế trái = (3 – 3)(2.3 + 1) = 0.7 = 0 = Vế phải.

Do đó nghiệm của phương trình x – 3 = 0 là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0.

Thay $x=-\frac{1}{2}$ vào vế trái phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0, ta được:

Vế trái $=(-\frac{1}{2}-3)[2\cdot (-\frac{1}{2})+1]=-\frac{7}{2}\cdot 0=0=$ Vế phải.

Do đó nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0 là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0.

⦁ Vì x = x$_{0}$ là nghiệm của phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0 nên x = x$_{0}$ thỏa mãn phương trình (x – 3)(2x + 1) = 0, tức là:

(x$_{0}$ – 3)(2x$_{0}$ + 1) = 0

x$_{0}$ – 3 = 0 hoặc 2x$_{0}$ + 1 = 0

x$_{0}$ = 3 hoặc 2x$_{0}$ = –1

x$_{0}$ = 3 hoặc ${x}_{0}=-\frac{1}{2}.$

Vậy x$_{0}$ là nghiệm của phương trình x – 3 = 0 hoặc phương trình 2x + 1 = 0.

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

4x + 5 = 0

4x = –5

$x=-\frac{5}{4};$

3x – 2 = 0

3x = 2

$x=\frac{2}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{5}{4}$ và $x=\frac{2}{3}.$

a) Ta có: x$^{2}$ – 10x + 25 = 5(x – 5)

(x – 5)$^{2}$ – 5(x – 5) = 0

(x – 5)(x – 5 – 5) = 0

(x – 5)(x – 10) = 0.

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

x – 5 = 0

x = 5;

x – 10 = 0

x = 10.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 5 và x = 10.

b) Ta có:

4x$^{2}$ – 16 = 5(x + 2)

4(x$^{2}$ – 4) – 5(x + 2) = 0

4(x – 2)(x + 2) – 5(x + 2) = 0

(x + 2)(4x – 8 – 5) = 0

(x + 2)(4x – 13) = 0.

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

x + 2 = 0

x = –2;

4x – 13 = 0

4x = 13

$x=\frac{13}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và $x=\frac{13}{4}.$

b) Mẫu thức chung của phương trình là 2x(x – 3).

Ta quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu thì được:

$\frac{(2x+1)(x-3)}{2x(x-3)}=\frac{2x(x-3)}{2x(x-3)}-\frac{2\cdot 2x}{2x(x-3)}$

(2x + 1)(x – 3) = 2x(x – 3) – 2.2x.

c) Giải phương trình:

(2x + 1)(x – 3) = 2x(x – 3) – 2.2x

2x$^{2}$ – 6x + x – 3 = 2x$^{2}$ – 6x – 4x

2x$^{2}$ – 6x + x – 2x$^{2}$ + 6x + 4x = 3

5x = 3

$x=\frac{3}{5}.$

d) Ta thấy $x=\frac{3}{5}.$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{3}{5}.$

Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ 3.

$\frac{x}{x-2}+\frac{1}{x-3}=\frac{2}{(2-x)(x-3)}$

$\frac{x(x-3)}{(x-2)(x-3)}+\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\frac{-2}{(x-2)(x-3)}$

x(x – 3) + x – 2 = –2

x$^{2}$ – 3x + x – 2 + 2 = 0

x$^{2}$ – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Ta thấy x = 0 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình và x = 2 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

Gọi thời gian làm việc của đội công nhân trong mỗi giai đoạn là x (ngày) (x > 0).

Ở giai đoạn đầu, số m$^{2}$ mặt đường mỗi ngày đội công nhân trải được là $\frac{3\ 600}{x}$ (m$^{2}$).

Ở giai đoạn hai, số m$^{2}$ mặt đường mỗi ngày đội công nhân trải được là $\frac{3\ 600}{x}+300$ (m$^{2}$).

Số m$^{2}$ mặt đường đội công nhân trải được ở giai đoạn hai là: $(\frac{3\ 600}{x}+300)\cdot x=\frac{3\ 600}{x}\cdot x+300\cdot x=3\ 600+300x$ (m$^{2}$).

Theo bài, đội công nhân cần hoàn thành 8 100 m$^{2}$ mặt đường sau cả hai giai đoạn nên ta có phương trình: 3 600 + 3 600 + 300x = 8 100.

Giải phương trình:

3 600 + 3 600 + 300x = 8 100

300x = 8 100 – 3 600 – 3 600

300x = 900

x = 3 (thỏa mãn x > 0).

Vậy đội công nhân đã hoàn thành công việc trong 3 + 3 = 6 ngày (hai giai đoạn, mỗi giai đoạn 3 ngày).

a) Để giải được phương trình (9x – 4)(2x + 5) = 0, ta giải hai phương trình sau:

9x – 4 = 0

9x = 4

$x=\frac{4}{9};$

2x + 5 = 0

2x = –5

$x=-\frac{5}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{4}{9};$ và $x=-\frac{5}{2}.$

b) Để giải được phương trình (1,3x + 0,26)(0,2x – 4) = 0, ta giải hai phương trình sau:

1,3x + 0,26 = 0

1,3x = –0,26

x = –0,2;

0,2x – 4 = 0

0,2x = 4

x = 20.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –0,2 và x = 20.

c) 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0

(x + 3)(2x – 5) = 0.

Để giải được phương trình (x + 3)(2x – 5) = 0, ta giải hai phương trình sau:

x + 3 = 0

x = –3;

2x – 5 = 0

2x = 5

$x=\frac{5}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –3 và $x=\frac{5}{2}.$

d) x$^{2}$ – 4 + (x + 2)(2x – 1) = 0

(x – 2)(x + 2) + (x + 2)(2x – 1) = 0

(x + 2)(x – 2 + 2x – 1) = 0

(x + 2)(3x – 3) = 0.

Để giải được phương trình (x + 2)(3x – 3) = 0, ta giải hai phương trình sau:

x + 2 = 0

x = –2;

3x – 3 = 0

3x = 3

x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = 1.

a) $\frac{1}{x}=\frac{5}{3(x+2)}.$

Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ –2.

$\frac{1}{x}=\frac{5}{3(x+2)}$

$\frac{3(x+2)}{3x(x+2)}=\frac{5x}{3x(x+2)}$

3(x + 2) = 5x

3x + 6 = 5x

–2x = –6

x = 3.

Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

b) $\frac{x}{2x-1}=\frac{x-2}{2x+5}.$

Điều kiện xác định: $x\ne \frac{1}{2}$ và $x\ne -\frac{5}{2}.$

$\frac{x}{2x-1}=\frac{x-2}{2x+5}$

$\frac{x(2x+5)}{(2x-1)(2x+5)}=\frac{(x-2)(2x-1)}{(2x-1)(2x+5)}$

x(2x + 5) = (x – 2)(2x – 1)

2x$^{2}$ + 5x = 2x$^{2}$ – x – 4x + 2

2x$^{2}$ + 5x – 2x$^{2}$ + x + 4x = 2

10x = 2

$x=\frac{1}{5}.$

Ta thấy $x=\frac{1}{5}.$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{1}{5}.$

c) $\frac{5x}{x-2}=7+\frac{10}{x-2}.$

Điều kiện xác định: x ≠ 2.

$\frac{5x}{x-2}=7+\frac{10}{x-2}$

$\frac{5x}{x-2}=\frac{7(x-2)}{x-2}+\frac{10}{x-2}$

5x = 7(x – 2) + 10

5x = 7x – 14 + 10

5x – 7x = –4

–2x = –4

x = 2.

Ta thấy x = 2 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.

d) $\frac{{x}^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}.$

Điều kiện xác định: x ≠ 0.

$\frac{{x}^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}.$

$\frac{({x}^{2}-6)\cdot 2}{2x}=\frac{x\cdot 2x}{2x}+\frac{3x}{2x}$

(x$^{2}$ – 6).2 = x.2x + 3x

2x$^{2}$ – 12 = 2x$^{2}$ + 3x

2x$^{2}$ – 2x$^{2}$ – 3x = 12

–3x = 12

x = –4.

Ta thấy x = –4 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = –4.

Gọi tốc độ của dòng nước là x (km/h) (0 < x < 27).

Khi đó, tốc độ của ca nô khi đi xuôi dòng là 27 + x (km/h) và tốc độ của ca nô khi đi ngược dòng là 27 – x (km/h).

Thời gian ca nô đi xuôi dòng quãng đường AB là $\frac{40}{27+x}$ (giờ).

Thời gian ca nô đi ngược dòng quãng đường AB là $\frac{40}{27-x}$ (giờ).

Theo bài, thời gian cả đi và về là 3 giờ nên ta có phương trình: $\frac{40}{27+x}+\frac{40}{27-x}=3.$

Giải phương trình: $\frac{40}{27+x}+\frac{40}{27-x}=3.$

$\frac{40(27-x)}{(27+x)(27-x)}+\frac{40(27+x)}{(27+x)(27-x)}=\frac{3(27+x)(27-x)}{(27+x)(27-x)}$

40(27 – x) + 40(27 + x) = 3(27 + x)(27 – x)

1 080 – 40x + 1 080 + 40x = 3(729 – x$^{2}$)

1 080 – 40x + 1 080 + 40x = 2 187 – 3x$^{2}$

1 080 – 40x + 1 080 + 40x – 2 187 + 3x$^{2}$ = 0

3x$^{2}$ – 27 = 0

x$^{2}$ – 9 = 0

(x – 3)(x + 3) = 0

x – 3 = 0 hoặc x + 3 = 0

x = 3 hoặc x = –3.

Do 0 < x < 27 nên x = 3.

Vậy tốc độ của dòng nước là 3 km/h.

Với chi phí là 420 triệu đồng thì ta có C = 420, tức là ta có phương trình: $\frac{80p}{100-p}=420.$

Giải phương trình:

$\frac{80p}{100-p}=420.$

$\frac{80p}{100-p}=\frac{420(100-p)}{100-p}$

80p = 42 000 – 420p

80p + 420p = 42 000

500p = 42 000

p = 84 (thỏa mãn điều kiện 0 ≤ p < 100).

Vậy với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 84% chất gây ô nhiễm trong khí thải.

Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua là x (nghìn đồng) (x > 30).

Giá tiền của chiếc áo sau khi giảm giá 30 nghìn đồng/chiếc là x – 30 (nghìn đồng).

Số chiếc áo bạn Hoa dự định mua là $\frac{600}{x}$ (chiếc).

Số chiếc áo bạn Hoa đã mua thực tế là $\frac{600}{x-30}$ (chiếc).

Theo bài, thực tết bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình: $\frac{600}{x-30}=1{,}25\cdot \frac{600}{x}.$

Giải phương trình:

$\frac{600}{x-30}=1{,}25\cdot \frac{600}{x}$

$\frac{600x}{x(x-30)}=\frac{1{,}25\cdot 600(x-30)}{x(x-30)}$

600x = 1,25.600(x – 30)

600x = 750x – 22 500

600x – 750x = – 22 500

–150x = –22 500

x = 150 (thỏa mãn điều kiện x > 30).

Vậy giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua là 150 nghìn đồng.

Nửa chu vi của mảng đất hình chữ nhật là 52 : 2 = 26 (m).

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (x < 13).

Khi đó, chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là 26 – x (m).

Chiều rộng của vườn rau là x – 1 – 1 = x – 2 (m).

Chiều dài của vườn rau là 26 – x – 1 – 1 = 24 – x (m).

Diện tích của vườn rau là (x – 2)(24 – x) (m$^{2}$).

Theo bài, vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích là 112 m$^{2}$ nên ta có phương trình: (x – 2)(24 – x) = 112.

Giải phương trình:

(x – 2)(24 – x) = 112

24x – x$^{2}$ – 48 + 2x – 112 = 0

– x$^{2}$ + 26x – 160 = 0

x$^{2}$ – 26x + 160 = 0

x$^{2}$ – 10x – 16x + 160 = 0

(x$^{2}$ – 10x) – (16x – 160) = 0

x(x – 10) – 16(x – 10) = 0

(x – 10)(x – 16) = 0

x – 10 = 0 hoặc x – 16 = 0

x = 10 hoặc x = 16.

Do x < 13 nên x = 10.

Vậy mảnh đất có chiều rộng là 10 m và chiều dài là 26 – 10 = 16 m.