Giải SGK Toán 9 Cánh diều Bài 5. Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hình phẳng được tô màu đỏ ở Hình 65 được gọi là hình quạt tròn (hình quạt), hình này là một phần hình tròn giới hạn bởi cung tròn AB và hai bán kính OA, OB.

Giả sử hình quạt tròn AOB, tâm O, bán kính R và cung tương ứng với hình quạt có số đo n°.

Diện tích của hình quạt đó là: $S=\frac{π{R}^{2}n}{360}$ (đơn vị diện tích).

a) HS thực hiện hoạt động theo hướng dẫn của GV và SGK.

b) Độ dài của cung tròn có số đo 360° chính là chu vi của đường tròn bán kính R và bằng 2πR.

Độ dài của cung có số đo 1° là: $\frac{2πR}{360}=\frac{πR}{180}.$

Độ dài của cung có số đo n° là $n\cdot \frac{πR}{180}=\frac{πRn}{180}.$

Ta có $\widehat{AOB}=2α$ là số đo của cung AB.

Độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển là: $\frac{π\cdot 1\cdot 2α}{180}=\frac{απ}{90}.$

Ta có:

⦁ OA < 2 cm nên A nằm trong đường tròn (O; 2 cm);

⦁ OB = 2 cm nên B nằm trên đường tròn (O; 2 cm).

Xét ∆OCD có OC = OD = CD nên ∆OCD là tam giác đều, do đó $\widehat{COD}=60^{\circ}.$

Vì góc COD là góc ở tâm chắn cung nhỏ CD nên $sđ\overset{\frown}{CD}=\widehat{COD}=60^{\circ}.$

Do đó $sđ\overset{\frown}{CqD}=360^{\circ}-sđ\overset{\frown}{CD}=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}.$

a) Diện tích của hình tròn bán kính R là S = πR$^{2}$.

Cả đường tròn có số đo là 360° nên diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R cung số đo 1° là: $S=\frac{π{R}^{2}}{360}.$

b) Diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R cung số đo n° là: $S=\frac{π{R}^{2}\cdot n}{360}.$

a) Diện tích hình quạt đó là: $S=\frac{π\cdot {2}^{2}\cdot 150}{360}=\frac{5π}{3}{\text{(dm}}^{2}\text{).}$

b) Ta có $S=\frac{lR}{2},$ suy ra $l=\frac{2S}{R}=\frac{2\cdot \frac{5π}{3}}{2}=\frac{5π}{3}\text{(dm).}$

Vậy độ dài cung tương ứng với hình quạt tròn đó là: $\frac{5π}{3}\text{(dm).}$

a) Hình chi tiết máy được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm.

b)

Diện tích hình tròn tâm O bán kính 3 cm là: π.3$^{2}$ = 9π (cm$^{2}$).

Diện tích hình tròn tâm O bán kính 2 cm là: π.2$^{2}$ = 4π (cm$^{2}$).

Hiệu diện tích của hai hình tròn đó là: 9π – 4π = 5π (cm$^{2}$).

Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm O và có bán kính lần lượt là 2,5 cm; 2 cm được tô màu xanh như hình vẽ dưới đây:

Diện tích của hình vành khuyên tô màu xanh là: $S=π(2,{5}^{2}-{2}^{2})=\frac{9π}{4}{\text{(cm}}^{2}\text{).}$

a) ⦁ Hình 83: Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 40° là: $S=\frac{π\cdot {2}^{2}\cdot 40}{360}=\frac{4}{9}π{\text{(cm}}^{2}\text{).}$

Vậy diện tích phần được tô màu là: $\frac{4}{9}π{\text{(cm}}^{2}\text{).}$

⦁ Hình 84: Diện tích hình tròn có bán kính 2 cm là S$_{1}$ = π.2$^{2}$ = 4π (cm$^{2}$).

Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 72° là:${S}_{2}=\frac{π\cdot {2}^{2}\cdot 72}{360}=\frac{4}{5}π{\text{(cm}}^{2}\text{).}$

Vậy diện tích phần được tô màu là: $S={S}_{1}-{S}_{2}=4π-\frac{4}{5}π=\frac{16}{5}π{\text{(cm}}^{2}\text{).}$

⦁ Hình 85: Diện tích phần được tô màu chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm bán kính 24 cm và 6 cm, và bằng:

S = π.(24$^{2}$ – 6$^{2}$) = 540π (cm$^{2}$).

⦁ Hình 86: Đường tròn nhỏ bên trong có bán kính là 19 cm. Đường tròn to bên ngoài có bán kính là 2.19 = 38 cm.

Diện tích phần được tô màu chính là nửa diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính 38 cm và 19 cm, và bằng: $S=\frac{1}{2}π\cdot ({38}^{2}-{19}^{2})=\frac{1\ 083π}{2}{\text{(cm}}^{2}\text{).}$

b) Tính độ dài cung tròn theo công thức $l=\frac{πRn}{180}.$

⦁ Hình 83: Số đo cung tròn được tô màu xanh là: 360° – 40° = 320°.

Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: $l=\frac{π\cdot 2\cdot 320}{180}=\frac{32π\ }{9}\text{(cm)}.$

⦁ Hình 84: Độ dài cung tròn được tô màu xanh là: $l=\frac{π\cdot 2\cdot 72}{180}=\frac{4π}{5}\text{(cm).}$

Diện tích hình vành khuyên bên trong là: S$_{1}$ = π(18$^{2}$ – 15$^{2}$) = 99π (cm$^{2}$).

Diện tích hình vành khuyên bên ngoài là S$_{1}$ = π(24$^{2}$ – 21$^{2}$) = 135π (cm$^{2}$).

Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính 2 cm (bán kính 1 cm) chính là diện tích của một hình tròn bán kính 1 cm, và bằng: S$_{1}$ = π.1$^{2}$ = π (cm$^{2}$).

Tổng diện tích hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm là: S$_{2}$ = 2.(2.8) = 32 (cm$^{2}$).

Diện tích một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm là:

Diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó là: ${S}_{3}=\frac{1}{4}\cdot π({6}^{2}-{4}^{2})=5π{\text{(cm}}^{2}\text{).}$

S = S$_{1}$ + S$_{2}$ + S$_{3}$ = π + 32 + 5π = 6π + 32 (cm$^{2}$).

Đổi 3ft = 91,44 cm; 6 in = 15,24 cm.

a) Bán kính IQ là 91,44 + 15,24 = 106,68 (cm).

Diện tích của nêm cong MNPQ là:

S = π(106,68$^{2}$ – 15,24$^{2}$) = 11148,3648π (cm$^{2}$) ≈ 35 024 (cm$^{2}$).

b) Diện tích nêm góc ABCD là:

${S}_{nem\ goc}=2{S}_{ΔAOE}-{S}_{hq\ OBC}=2\cdot \frac{1}{2}OA\cdot AE-\frac{π\cdot O{B}^{2}\cdot sđ\overset{\frown}{BC}}{360}$

$=OA\cdot AE-\frac{π\cdot O{B}^{2}\cdot \widehat{BOC}}{360}=OA\cdot AE-\frac{π\cdot O{B}^{2}\cdot 2\widehat{AOE}}{360}.$

Xét ∆OAE vuông tại A, ta có: $AE=OA\cdot \tan \widehat{AOE}.$

Do đó ${S}_{nem\ goc}=OA\cdot OA\cdot \tan \widehat{AOE}-\frac{π\cdot O{B}^{2}\cdot 2\widehat{AOE}}{360}$

$=O{A}^{2}\cdot \tan \widehat{AOE}-\frac{π\cdot O{B}^{2}\cdot 2\widehat{AOE}}{360}.$

Vậy để tính được diện tích của nêm góc ABCD, ta cần biết những kích thước: OB, OA và số đo góc AOE.