Giải SGK Toán 8 CTST Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có: 99$^{3}$ – 99 = 99.(99$^{2}$ – 1)

= 99.(99$^{2}$ – 1$^{2}$)

= 99.(99 – 1).(99 + 1)

= 99.98.100

Do đó 99$^{3}$ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: n$^{3}$ – n = n(n$^{2}$ – 1)

= n.(n – 1).(n + 1)

Do đó n$^{3}$ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

***Cách 1:* **Tính tổng diện tích các hình.

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b – 1 (m) là: a(b – 1) (m$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b (m) là: ab (m$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng 4,5 (m) là: 4,5a (m$^{2}$).

Diện tích của nền nhà là: S = a(b – 1) + ab + 4,5a (m$^{2}$).

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(3,5 – 1) + 5.3,5 + 4,5.5

= 5 . (3,5 – 1 + 3,5 + 4,5)

= 5 . 10,5

= 52,5 (m$^{2}$).

***Cách 2:* **Tính chiều dài của nền nhà rồi tính diện tích của nền nhà.

Chiều dài của nền nhà là:

b – 1 + b + 4,5 = 2b + 3,5 (m).

Diện tích của nền nhà là: S = a.(2b + 3,5) (m$^{2}$).

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(2.3,5 + 3,5) = 5 . 10,5 = 52,5 (m$^{2}$).

Chú ý: Ngoài 2 cách trên ta có thể tính diện tích của nền nhà theo cách khác.

Trong tất cả các cách thì ta thấy Cách 2 là nhanh nhất.

a) P = 6x – 2x$^{3}$

= 2x.3 – 2x.x$^{2}$

= 2x(3 – x$^{2}$).

b) Q = 5x$^{3}$ – 15x$^{2}$y

= 5x$^{2}$.x – 5x$^{2}$.3y

= 5x$^{2}$(x – 3y).

c) R = 3x$^{3}$y$^{3}$ – 6xy$^{3}$z + xy

= xy.3x$^{2}$y$^{2}$ – xy.6y$^{2}$z + xy.1

= xy(3x$^{2}$y$^{2}$ – 6y$^{2}$z + 1).

a) 9x$^{2}$ – 16 = (3x)$^{2}$ – 4$^{2}$

= (3x – 4)(3x + 4).

b) 4x$^{2}$ – 12xy + 9y$^{2}$

= (2x)$^{2}$ – 2.2x.3y + (3y)$^{2}$

= (2x – 3y)$^{2}$.

c) t$^{3}$ – 8 = t$^{3}$ – 2$^{3}$

= (t – 2)(t$^{2}$ + t.2 + 2$^{2}$)

= (t – 2)(t$^{2}$ – 2t + 4).

d) 2ax$^{3}$y$^{3}$ + 2a

= 2a.(x$^{3}$y$^{3}$ + 1)

= 2a.[(xy)$^{3}$ + 1$^{3}$]

= 2a(xy + 1)[(xy)$^{2}$ – xy.1 + 1$^{2}$]

= 2a(xy + 1)(x$^{2}$y$^{2}$ – xy + 1).

Ta có: 2x$^{3}$ – 18x = 2x(x$^{2}$ – 9)

= 2x(x$^{2}$ – 3$^{2}$)

= 2x(x – 3)(x + 3)

Vậy hình hộp chữ nhật có thể tích 2x$^{3}$ – 18x (với x > 3) sẽ có độ dài ba kích thước là 2x, x – 3 và x + 3.

Ta có: 99$^{3}$ – 99 = 99.(99$^{2}$ – 1)

= 99.(99$^{2}$ – 1$^{2}$)

= 99.(99 – 1).(99 + 1)

= 99.98.100

Do đó 99$^{3}$ – 99 chia hết cho cả ba số 98, 99 và 100.

Ta có: n$^{3}$ – n = n(n$^{2}$ – 1)

= n.(n – 1).(n + 1)

Do đó n$^{3}$ – n chia hết cho n, n – 1 và n + 1.

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

a$^{2}$ + ab + 2a + 2b

= (a$^{2}$ + ab) + (2a + 2b)

= a(a + b) + 2(a + b)

= (a + b)(a + 2).

Ta có thể biến đổi theo cách khác như sau:

a$^{2}$ + ab + 2a + 2b

= (a$^{2}$ + 2a) + (ab + 2b)

= a(a + 2) + b(a + 2)

= (a + 2)(a + b).

a) a$^{3}$ – a$^{2}$b + a – b

= (a$^{3}$ – a$^{2}$b) + (a – b)

= a$^{2}$(a – b) + (a – b)

= (a – b)(a$^{2}$ + 1).

b) x$^{2}$ – y$^{2}$ + 2y – 1

= x$^{2}$ – (y$^{2}$ – 2y + 1)

= x$^{2}$ – (y – 1)$^{2}$

= (x + y – 1).[x – (y – 1)]

= (x + y – 1)(x – y + 1).

Diện tích tấm pin hình vuông có cạnh bằng a là: a$^{2}$ (m$^{2}$).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng 1 và chiều rộng bằng a là: a.1 = a (m$^{2}$).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng a là: ab (m$^{2}$).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài bằng b và chiều rộng bằng 1 là: b.1 = b (m$^{2}$).

Tổng diện tích bốn tấm pin mặt trời là:

S = a$^{2}$ + a + ab + b = (a$^{2}$ + a) + (ab + b)

= a(a + 1) + b(a + 1)

= (a + 1)(a + b) (m$^{2}$).

Vậy có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như Hình 2 thành một hình chữ nhật có chiều rộng là a + 1 (m) và chiều dài là a + b (m).

Với a = 0,8 (m) và b = 2 (m) ta có:

• Chiều rộng hình chữ nhật đó là 0,8 + 1 = 1,8 (m).

• Chiều dài hình chữ nhật đó là 0,8 + 2 = 2,8 (m).

• Diện tích hình chữ nhật đó là: 1,8 . 2,8 = 5,04 (m$^{2}$).

c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x)

= 2a(x – 1) + 3b[– (x – 1)]

= 2a(x – 1) – 3b(x – 1)

= (x – 1)(2a – 3b).

d) (x – y)$^{2}$ – x(y – x)

= (x – y)$^{2}$ + x(x – y)

= (x – y)(x – y + x)

= (x – y)(2x – y).

b) (x + 2)$^{2}$ – 9 = (x + 2)$^{2}$ – 3$^{2}$

= (x + 2 + 3)(x + 2 – 3)

= (x + 5)(x – 1).

c) (a + b)$^{2}$ – (a – 2b)$^{2}$

= [(a + b) + (a – 2b)] . [(a + b) – (a – 2b)]

= [a + b + a – 2b] . [a + b – a + 2b]

= (2a – b).3b.

a) 4a$^{2}$ + 4a + 1

= (2a)$^{2}$ + 2.2a.1 + 1$^{2}$

= (2a + 1)$^{2}$.

b) –3x$^{2}$ + 6xy – 3y$^{2}$

= –3(x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$)

= –3(x – y)$^{2}$.

c) (x + y)$^{2}$ – 2(x + y)z + z$^{2}$

= [(x + y) – z]$^{2}$

= (x + y – z)$^{2}$.

a) 8x$^{3}$ – 1

= (2x)$^{3}$ – 1$^{3}$

= (2x – 1)[(2x)$^{2}$ + 2x.1 + 1$^{2}$]

= (2x – 1)(4x$^{2}$ + 2x + 1).

b) x$^{3}$ + 27y$^{3}$

= x$^{3}$ + (3y)$^{3}$

= (x + 3y)[x$^{2}$ – x.3y + (3y)$^{2}$]

= (x + 3y)(x$^{2}$ – 3xy + 9y$^{2}$).

c) x$^{3}$ – y$^{6}$

= x$^{3}$ – (y$^{2}$)$^{3}$

= (x – y$^{2}$)[x$^{2}$ + x.y$^{2}$ + (y$^{2}$)$^{2}$]

= (x – y$^{2}$)(x$^{2}$ + xy$^{2}$ + y$^{4}$).

a) 4x$^{3}$ – 16x

= 4x(x$^{2}$ – 4)

= 4x(x$^{2}$ – 2$^{2}$)

= 4x(x + 2)(x – 2).

b) x$^{4}$ – y$^{4}$

= (x$^{2}$)$^{2}$ – (y$^{2}$)$^{2}$

= (x$^{2}$ + y$^{2}$)(x$^{2}$ – y$^{2}$)

= (x$^{2}$ + y$^{2}$)(x + y)(x – y).

c) xy$^{2}$ + x$^{2}$y + y$^{3}$

= y(xy + x$^{2}$ + y$^{2}$)

$=y[{x}^{2}+2.x.\frac{1}{2}y+{(\frac{1}{2}y)}^{2}]$

$=y{(x+\frac{1}{2}y)}^{2}$

d) x$^{2}$ + 2x – y$^{2}$ + 1

= (x$^{2}$ + 2x + 1) – y$^{2}$

= (x + 1)$^{2}$ – y$^{2}$

= (x + 1 + y)(x + 1 – y).

a) x$^{2}$ – xy + x – y

= (x$^{2}$ – xy) + (x – y)

= x(x – y) + (x – y)

= (x – y)(x + 1).

b) x$^{2}$ + 2xy – 4x – 8y

= (x$^{2}$ + 2xy) – (4x + 8y)

= x(x + 2y) – 4(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 4).

c) x$^{3}$ – x$^{2}$ – x + 1

= (x$^{3}$ – x$^{2}$) – (x – 1)

= x$^{2}$(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(x$^{2}$ – 1)

= (x – 1)(x + 1)(x – 1)

= (x – 1)$^{2}$(x + 1).

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a$^{2}$.

Tức là 49y$^{2}$ + 28y + 4 = a$^{2}$.

Ta phân tích đa thức 49y$^{2}$ + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a$^{2}$.

49y$^{2}$ + 28y + 4

= (7y)$^{2}$ + 2.7y.2 + 2$^{2}$

= (7y + 2)$^{2}$

Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y$^{2}$ + 28y + 4 là 7y + 2.