Giải SGK Toán 8 CTST Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Sau khoảng thời gian t giờ, thuyền đi xuôi dòng được quãng đường là: (v + 3).t (km).

Sau khoảng thời gian t giờ, ca nô đi ngược dòng được quãng đường là: (2v – 3).t (km).

Khoảng cách giữa hai phương tiện sau khoảng thời gian t giờ là:

(v + 3).t + (2v – 3).t

= vt + 3t + 2vt – 3t

= (vt + 3vt) + (3t – 3t)

= 4vt (km).

Vậy khoảng cách giữa chúng sau khoảng thời gian t giờ kể từ khi rời bến là 4vt (km).

a) Giá tiền của tấm kính chống nắng loại A là: a.S$_{A}$ = a.(x.x) = ax$^{2}$ (đồng).

Giá tiền của tấm kính chống nắng loại B là: a.S$_{B}$ = a.(x.1) = ax (đồng).

Giá tiền của tấm kính chống nắng loại C là: a.S$_{C}$ = a.(x.y) = axy (đồng).

Số tiền mua kính của lần 1 là: 2ax$^{2}$ + 4ax + 5axy (đồng).

Số tiền mua kính của lần 2 là: 4ax$^{2}$ + 3ax + 6axy (đồng).

Tổng số tiền mua kính của cả hai lần là:

(2ax$^{2}$ + 4ax + 5axy) + (4ax$^{2}$ + 3ax + 6axy)

= 2ax$^{2}$ + 4ax + 5axy + 4ax$^{2}$ + 3ax + 6axy

= (2ax$^{2}$ + 4ax$^{2}$) + (4ax + 3ax) + (5axy + 6axy)

= 6ax$^{2}$ + 7ax + 11axy (đồng).

b) Số tiền lần 2 nhiều hơn lần 1 là:

(2ax$^{2}$ + 4ax + 5axy) – (4ax$^{2}$ + 3ax + 6axy)

= 2ax$^{2}$ + 4ax + 5axy – 4ax$^{2}$ – 3ax – 6axy

= (2ax$^{2}$ – 4ax$^{2}$) + (4ax – 3ax) + (5axy – 6axy)

= –2ax$^{2}$ + ax – axy (đồng).

M + N = 1 + 3xy – 2x$^{2}$y$^{2}$ + x – xy + 2x$^{2}$y$^{2}$

= 1 + (3xy – xy) + x + (–2x$^{2}$y$^{2}$ + 2x$^{2}$y$^{2}$)

= 1 + 2xy + x.

M – N = 1 + 3xy – 2x$^{2}$y$^{2}$ – (x – xy + 2x$^{2}$y$^{2}$)

= 1 + 3xy – 2x$^{2}$y$^{2}$ – x + xy – 2x$^{2}$y$^{2}$)

= 1 + (3xy + xy) – x + (–2x$^{2}$y$^{2}$ – 2x$^{2}$y$^{2}$)

= 1 + 4xy – x – 4x$^{2}$y$^{2}$.

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật A là: k.2x = 2kx.

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật A là:

S$_{đáy}$ = (2x).(2kx) = (2.2).k.(x.x) = 4kx$^{2}$ (đơn vị diện tích).

b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật A là: k.2x = 2kx.

Thể tích của hình hộp chữ nhật A là:

V = S$_{đáy}$.h = (4kx$^{2}$).(2kx) = (4.2).(k.k).(x$^{2}$.x) = 8k$^{2}$x$^{3}$ (đơn vị thể tích).

a) (4x$^{3}$).(–6x$^{3}$y)

= [4.(–6)].(x$^{3}$.x$^{3}$).y

= –24x$^{6}$y.

b) (–2y).(–5xy$^{2}$)

= [(–2).(–5)].x.(y.y$^{2}$)

= 10xy$^{3}$.

c) (–2a)$^{3}$.(2ab)$^{2}$

= (–2)$^{3}$.a$^{3}$.2$^{2}$.a$^{2}$.b$^{2}$

= [(–2)$^{3}$.2$^{2}$].(a$^{3}$.a$^{2}$).b$^{2}$

= [(–8).4].a$^{5}$b$^{2}$

= –32a$^{5}$b$^{2}$.

a) Cách 1: Chia sàn căn hộ thành ba hình chữ nhật ABCD, BCEG, EGHK (hình vẽ dưới đây), khi đó diện tích sàn căn hộ là tổng diện tích các hình chữ nhật trên.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 2xy (m$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật BCEG là: 2x.3x = 6x$^{2}$ (m$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật EGHK là: 2x.2 = 4x (m$^{2}$).

Diện tích sàn của căn hộ là: 2xy + 6x$^{2}$ + 4x (m$^{2}$).

Cách 2: Tính chiều dài của sàn căn hộ rồi tính diện tích sàn căn hộ.

Chiều dài sàn của căn hộ là: y + 3x + 2 (m).

Diện tích sàn của căn hộ là: 2x.(y + 3x + 2) (m$^{2}$).

Lưu ý: Ngoài 2 cách trên, có thể dùng cách khác để tính diện tích sàn của căn hộ.

b) Chiều rộng sàn của căn hộ (bao gồm cả ban công) là: 2x + 1 (m).

Diện tích sàn của căn hộ (bao gồm cả ban công) là: (2x + 1).(y + 3x + 2) (m$^{2}$).

a) (–5a$^{4}$)(a$^{2}$b – ab$^{2}$)

= (–5a$^{4}$).(a$^{2}$b) – (–5a$^{4}$).(ab$^{2}$)

= –5.(a$^{4}$.a$^{2}$).b + 5.(a$^{4}$.a).b$^{2}$

= –5a$^{6}$b + 5a$^{5}$b$^{2}$.

b) (x + 2y)(xy$^{2}$ – 2y$^{3}$)

= x.(xy$^{2}$ – 2y$^{3}$) + 2y.(xy$^{2}$ – 2y$^{3}$)

= x.xy$^{2}$ – x.2y$^{3}$ + 2y.xy$^{2}$ – 2y.2y$^{3}$

= x$^{2}$y$^{2}$ – 2xy$^{3}$ + 2xy$^{3}$ – 4y$^{4}$

= x$^{2}$y$^{2}$ + (– 2xy$^{3}$ + 2xy$^{3}$) – 4y$^{4}$

= x$^{2}$y$^{2}$ – 4y$^{4}$.

Sau khoảng thời gian t giờ, thuyền đi xuôi dòng được quãng đường là: (v + 3).t (km).

Sau khoảng thời gian t giờ, ca nô đi ngược dòng được quãng đường là: (2v – 3).t (km).

Khoảng cách giữa hai phương tiện sau khoảng thời gian t giờ là:

(v + 3).t + (2v – 3).t

= vt + 3t + 2vt – 3t

= (vt + 3vt) + (3t – 3t)

= 4vt (km).

Vậy khoảng cách giữa chúng sau khoảng thời gian t giờ kể từ khi rời bến là 4vt (km).

Diện tích hình chữ nhật lớn (cạnh có màu xanh) là: (2x + 3y).5y (m$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật nhỏ (cạnh có màu đen) là: x.(x + y) (m$^{2}$).

Diện tích phần tô màu là:

(2x + 3y).5y – x.(x + y)

= 2x.5y + 3y.5y – x.x – x.y

= 10xy + 15y$^{2}$ – x$^{2}$ – xy

= (10xy – xy) + 15y$^{2}$ – x$^{2}$

= 9xy + 15y$^{2}$ – x$^{2}$ (m$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật A là: S$_{A}$ = 2x.2kx = 4kx$^{2}$ (cm$^{2}$).

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật B là R (cm).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật B là: S$_{B}$ = R.3x (cm$^{2}$).

Để hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì S$_{A}$ = S$_{B}$

Do đó 4kx$^{2}$ = R.3x

Suy ra R = (4kx$^{2}$) : (3x)

R = (4 : 3).k.(x$^{2}$ : x) = $\frac{4}{3}$ kx (cm).

Vậy để hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì chiều rộng của hình chữ nhật B là $\frac{4}{3}$ kx cm.

(8x$^{4}$y$^{5}$z$^{3}$) : (2x$^{3}$y$^{4}$z)

= (8 : 2).(x$^{4}$ : x$^{3}$).(y$^{5}$ : y$^{4}$).(z$^{3}$ : z)

= 4xyz$^{2}$.

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đó là:

S$_{đáy}$ = V : h = (12x$^{2}$y) : (3y) = (12 : 3).x$^{2}$.(y : y) = 4x$^{2}$.

a) Chiều rộng của tấm giấy dán thứ nhất là:

(2x$^{2}$) : (2x) = (2 : 2).(x$^{2}$ : x) = x (m).

Chiều rộng của tấm giấy dán thứ hai là:

(5xy) : (2x) = (5 : 2).(x : x).y = $\frac{5}{2}$ y (m).

Chiều rộng của bức tường là:$x+\frac{5}{2}y$ (m).

b) Diện tích bức tường chính là tổng diện tích hai tấm giấy dán, và bằng:

2x$^{2}$ + 5xy (m$^{2}$).

Bức tường có chiều cao là 2x (m), do đó chiều rộng của bức tường là kết quả của phép chia đa thức A = 2x$^{2}$ + 5xy cho đơn thức B = 2x.

Mà theo câu a, chiều rộng của bức tường là: $x+\frac{5}{2}y$ (m).

Vậy từ kết quả ở câu a, ta có thể biết được kết quả của phép chia đa thức A = 2x$^{2}$ + 5xy cho đơn thức B = 2x là bằng $x+\frac{5}{2}y$ .

a) (5ab – 2a$^{2}$) : a

= (5ab : a) + (–2a$^{2}$ : a)

= 5.(a : a).b + [– 2.(a$^{2}$ : a)]

= 5b – 2a.

b) (6x$^{2}$y$^{2}$ – xy$^{2}$ + 3x$^{2}$y) : (–3xy)

= [6x$^{2}$y$^{2}$ : (–3xy)] + [– xy$^{2}$ : (–3xy)] + [3x$^{2}$y : (–3xy)]

= [6 : (–3)].(x$^{2}$ : x).(y$^{2}$ : y) + [(–1) : (–3)].(x : x).(y$^{2}$ : y) + [3 : (–3)].(x$^{2}$ : x).(y : y)

= –2xy + y – x.

Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là:

h = V : S$_{đáy}$

= (6x$^{2}$y – 8xy$^{2}$) : (2xy)

= [(6x$^{2}$y) : (2xy)] – [(8xy$^{2}$) : (2xy)]

= (6 : 2).(x$^{2}$ : x).(y : y) – (8 : 2).(x : x).(y$^{2}$ : y)

= 3x – 4y.

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là 3x – 4y.

a) x + 2y + (x – y)

= x + 2y + x – y

= (x + x) + (2y – y)

= 2x + y.

b) 2x – y – (3x – 5y)

= 2x – y – 3x + 5y

= (2x – 3x) + (–y + 5y)

= –x + 4y.

c) 3x$^{2}$ – 4y$^{2}$ + 6xy + 7 + (–x$^{2}$ + y$^{2}$ – 8xy + 9x + 1)

= 3x$^{2}$ – 4y$^{2}$ + 6xy + 7 – x$^{2}$ + y$^{2}$ – 8xy + 9x + 1

= (3x$^{2}$ – x$^{2}$) + (– 4y$^{2}$ + y$^{2}$) + (6xy – 8xy) + (7 + 1) + 9x

= 2x$^{2}$ – 3y$^{2}$ – 2xy + 8 + 9x.

d) 4x$^{2}$y – 2xy$^{2}$ + 8 – (3x$^{2}$y + 9xy$^{2}$ – 12xy + 6).

= 4x$^{2}$y – 2xy$^{2}$ + 8 – 3x$^{2}$y – 9xy$^{2}$ + 12xy – 6

= (4x$^{2}$y – 3x$^{2}$y) + (– 2xy$^{2}$ – 9xy$^{2}$) + (8 – 6) + 12xy

= x$^{2}$y – 11xy$^{2}$ + 2 + 12xy.

Độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7 là:

(7x + 5y) – (3x – y) – (x + 2y)

= 7x + 5y – 3x + y – x – 2y

= (7x – 3x – x) + (5y + y – 2y)

= 3x + 4y.

Vậy độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7 là 3x + 4y.

a) 3x(2xy – 5x$^{2}$y)

= 3x.2xy – 3x.5x$^{2}$y

= (3.2).(x.x).y – (3.5).(x.x$^{2}$).y

= 6x$^{2}$y – 15x$^{3}$y.

b) 2x$^{2}$y(xy – 4xy$^{2}$ + 7y)

= 2x$^{2}$y.xy – 2x$^{2}$y.4xy$^{2}$ + 2x$^{2}$y.7y

= 2.(x$^{2}$.x).(y.y) – (2.4).(x$^{2}$.x).(y.y$^{2}$) + (2.7).x$^{2}$.(y.y)

= 2x$^{3}$y$^{2}$ – 8x$^{3}$y$^{3}$ + 14x$^{2}$y$^{2}$.

c)$(-\frac{2}{3}x{y}^{2}+6y{z}^{2}).(-\frac{1}{2}xy)$

$=-\frac{2}{3}x{y}^{2}.(-\frac{1}{2}xy)+6y{z}^{2}.(-\frac{1}{2}xy)$

$=[(-\frac{2}{3}).(-\frac{1}{2})].(x.x).({y}^{2}.y)+[6.(-\frac{1}{2})].x.(y.y).{z}^{2}$

$=\frac{1}{3}{x}^{2}{y}^{3}-3x{y}^{2}{z}^{2}$.

a) (x – y)(x – 5y)

= x.(x – 5y) – y.(x – 5y)

= x.x – x.5y – y.x + y.5y

= x$^{2}$ – 5xy – xy + 5y$^{2}$

= x$^{2}$ – 6xy + 5y$^{2}$.

b) (2x + y)(4x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$)

= 2x.(4x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$) + y.(4x$^{2}$ – 2xy + y$^{2}$)

= 2x.4x$^{2}$ – 2x.2xy + 2x.y$^{2}$ + y.4x$^{2}$ – y.2xy + y.y$^{2}$

= 8x$^{3}$ – 4x$^{2}$y + 2xy$^{2}$ + 4x$^{2}$y – 2xy$^{2}$ + y$^{3}$

= 8x$^{3}$ + (– 4x$^{2}$y + 4x$^{2}$y) + (2xy$^{2}$ – 2xy$^{2}$) + y$^{3}$

= 8x$^{3}$ + y$^{3}$.

a) 20x$^{3}$y$^{5}$ : (5x$^{2}$y$^{2}$)

= (20 : 5).(x$^{3}$ : x$^{2}$).(y$^{5}$ : y$^{2}$)

= 4xy$^{3}$.

b) 18x$^{3}$y$^{5}$ : [3(–x)$^{3}$y$^{2}$]

= 18x$^{3}$y$^{5}$ : [–3x$^{3}$y$^{2}$]

= [18 : (–3)].(x$^{3}$ : x$^{3}$).(y$^{5}$ : y$^{2}$)

= –6y$^{3}$.

a) (4x$^{3}$y$^{2}$ – 8x$^{2}$y + 10xy) : (2xy)

= [(4x$^{3}$y$^{2}$) : (2xy)] – [(8x$^{2}$y) : (2xy)] + [(10xy) : (2xy)]

= (4 : 2).(x$^{3}$ : x).(y$^{2}$ : y) – (8 : 2).(x$^{2}$ : x).(y : y) + (10 : 2).(x : x).(y : y)

= 2x$^{2}$y – 4x + 5.

b) (7x$^{4}$y$^{2}$ – 2x$^{2}$y$^{2}$ – 5x$^{3}$y$^{4}$) : (3x$^{2}$y)

= [(7x$^{4}$y$^{2}$) : (3x$^{2}$y)] – [(2x$^{2}$y$^{2}$) : (3x$^{2}$y)] – [(5x$^{3}$y$^{4}$) : (3x$^{2}$y)]

= (7 : 3).(x$^{4}$: x$^{2}$).(y$^{2}$: y) – (2 : 3).(x$^{2}$: x$^{2}$).(y$^{2}$: y) – (5 : 3).(x$^{3}$: x$^{2}$).(y$^{4}$: y)

= x$^{2}$y – y – xy$^{3}$.

a) Thu gọn biểu thức:

3x$^{2}$y – (3xy – 6x$^{2}$y) + (5xy – 9x$^{2}$y)

= 3x$^{2}$y – 3xy + 6x$^{2}$y + 5xy – 9x$^{2}$y

= (3x$^{2}$y + 6x$^{2}$y – 9x$^{2}$y) + (– 3xy + 5xy)

= 2xy

Thay x = $\frac{2}{3}$ và y = $-\frac{3}{4}$ vào biểu thức đã thu gọn ta có:

$2.\frac{2}{3}.(-\frac{3}{4})=-1$.

b) Thu gọn biểu thức:

x(x – 2y) – y(y$^{2}$ – 2x)

= x.x – x.2y – y.y$^{2}$ + y.2x

= x$^{2}$ – 2xy – y$^{3}$ + 2xy

= x$^{2}$ + (– 2xy + 2xy) – y$^{3}$

= x$^{2}$ – y$^{3}$

Thay x = 5 và y = 3 vào biểu thức đã thu gọn ta có:

5$^{2}$ – 3$^{3}$ = 25 – 27 = –2.

Để đi được 1 km thì xuồng tiêu tốn $\frac{1}{10}a$ lít dầu khi xuôi dòng và tiêu tốn $\frac{1}{10}(a+2)=\frac{1}{10}a+\frac{1}{5}$lít dầu khi ngược dòng.

Số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B là:

$b.(\frac{1}{10}a+\frac{1}{5})=\frac{1}{10}ab+\frac{1}{5}b$(lít).

Số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến B xuôi dòng quay lại bến A là:

$b.\frac{1}{10}a=\frac{1}{10}ab$(lít).

Biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A là: $\frac{1}{10}ab+\frac{1}{5}b+\frac{1}{10}ab=(\frac{1}{10}ab+\frac{1}{10}ab)+\frac{1}{5}b=\frac{1}{5}ab+\frac{1}{5}b$ (lít).

a) Chiều dài của hình chữ nhật đã cho là:

(6xy + 10y$^{2}$) : (2y)

= [(6xy) : (2y)] + [(10y$^{2}$) : (2y)]

= (6 : 2).x.(y : y) + (10 : 2).(y$^{2}$ : y)

= 3x + 5y.

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 3x + 5y.

b) Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đã cho là:

S$_{đáy}$ = V : h

= (12x$^{3}$ – 3xy$^{2}$ + 9x$^{2}$y) : (3x)

= [(12x$^{3}$) : (3x)] – [(3xy$^{2}$) : (3x)] + [(9x$^{2}$y) : (3x)]

= (12 : 3).(x$^{3}$: x) – (3 : 3).(x : x).y$^{2}$ + (9 : 3).(x$^{2}$ : x).y

= 4x$^{2}$ – y$^{2}$ + 3xy.

Vậy diện tích đáy của hình hộp chữ nhật đã cho là 4x$^{2}$ – y$^{2}$ + 3xy.