Giải SGK Toán 8 Cánh diều Bài 6. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số có đáp án

Sau khi học xong bài này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Cộng, trừ được các phân thức đại số, ta thực hiện tương tự như phép cộng, phép trừ các phân số.

• Đối với các phân thức đại số có cùng mẫu thì ta thực hiện cộng (trừ) các tử và giữ nguyên mẫu.

• Đối với các phân thức đại số khác mẫu thì ta quy đồng mẫu thức các phân thức sau đó thực hiện cộng (trừ) các tử và giữ nguyên mẫu.

a) MTC: (x + 1)(x – 1).

Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho, ta được:

$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)};\ \frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$.

b) Ta có $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

$=\frac{x-1+x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{(x+1)(x-1)}$.

Ta có $\frac{1}{{x}^{2}+xy}+\frac{1}{xy+{y}^{2}}=\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(x+y)}$

$=\frac{y}{xy(x+y)}+\frac{x}{xy(x+y)}=\frac{x+y}{xy(x+y)}=\frac{1}{xy}$.

Phép cộng phân số có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

Với các số a, b, c, d, e, g (b, d, g ≠ 0), ta có:

• Giao hoán: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$;

• Kết hợp: $(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})+\frac{e}{g}=\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{g})$;

• Cộng với 0: $\frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$.

a) $\frac{4x+3y}{{x}^{2}-{y}^{2}}-\frac{3x+4y}{{x}^{2}-{y}^{2}}=\frac{(4x+3y)-(3x+4y)}{{x}^{2}-{y}^{2}}$

$=\frac{4x+3y-3x-4y}{(x+y)(x-y)}=\frac{(4x-3x)+(3y-4y)}{(x+y)(x-y)}$

$=\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}$;

b) $\frac{2xy-3{y}^{2}}{{x}^{2}-3xy}-\frac{x}{3x-9y}=\frac{y(2x-3y)}{x(x-3y)}-\frac{x}{3(x-3y)}$

$=\frac{3y(2x-3y)}{3x(x-3y)}-\frac{{x}^{2}}{3x(x-3y)}=\frac{3y(2x-3y)-{x}^{2}}{3x(x-3y)}$

$=\frac{6xy-9{y}^{2}-{x}^{2}}{3x(x-3y)}=-\frac{{x}^{2}-6xy+{(3y)}^{2}}{3x(x-3y)}$

$=-\frac{{(x-3y)}^{2}}{3x(x-3y)}=-\frac{x-3y}{3x}=\frac{3y-x}{3x}$.

a) $\frac{5x-4}{9}+\frac{4x+4}{9}=\frac{5x-4+4x+4}{9}$

$=\frac{(5x+4x)+(4-4)}{9}=\frac{9x}{9}=x$;

b) $\frac{{x}^{2}y-6}{2{x}^{2}y}+\frac{6-x{y}^{2}}{2{x}^{2}y}=\frac{{x}^{2}y-6+6-x{y}^{2}}{2{x}^{2}y}$

$=\frac{{x}^{2}y-x{y}^{2}}{2{x}^{2}y}=\frac{xy(x-y)}{2{x}^{2}y}=\frac{x-y}{2x}$;

c) $\frac{x+1}{{x}^{2}-5x}+\frac{x-18}{{x}^{2}-5x}+\frac{x+2}{{x}^{2}-5x}$

$=\frac{x+1+x-18+x+2}{{x}^{2}-5x}$

$=\frac{(x+x+x)+(1-18+2)}{x(x-5)}$

$=\frac{3x-15}{x(x-5)}=\frac{3(x-5)}{x(x-5)}=\frac{3}{x}$;

d) $\frac{7y}{3}-\frac{7y-5}{3}=\frac{7y-(7y-5)}{3}$

$=\frac{7y-7y+5}{3}=\frac{5}{3}$;

e) $\frac{4x-1}{3x{y}^{2}}-\frac{7x-1}{3x{y}^{2}}=\frac{(4x-1)-(7x-1)}{3x{y}^{2}}$

$=\frac{4x-1-7x+1}{3x{y}^{2}}=\frac{-3x}{3x{y}^{2}}=\frac{-1}{{y}^{2}}$;

g) $\frac{3y-2x}{x-2y}-\frac{x-y}{2y-x}=\frac{3y-2x}{x-2y}+\frac{x-y}{x-2y}$

$=\frac{3y-2x+x-y}{x-2y}=\frac{2y-x}{x-2y}=-\frac{x-2y}{x-2y}=-1$.

a) $\frac{4x+2}{4x-4}+\frac{3-6x}{6x-6}=\frac{2(2x+1)}{4(x-1)}+\frac{3(1-2x)}{6(x-1)}$

$=\frac{6(2x+1)}{12(x-1)}+\frac{6(1-2x)}{12(x-1)}=\frac{6(2x+1)+6(1-2x)}{12(x-1)}$

$=\frac{6(2x+1+1-2x)}{12(x-1)}=\frac{6\ .\ 2}{12(x-1)}$

$=\frac{12}{12(x-1)}=\frac{1}{x-1}$;

b) $\frac{y}{2{x}^{2}-xy}+\frac{4x}{{y}^{2}-2xy}$

$=\frac{y}{x(2x-y)}+\frac{4x}{y(y-2x)}$$=\frac{y}{x(2x-y)}-\frac{4x}{y(2x-y)}$

$=\frac{{y}^{2}}{xy(2x-y)}-\frac{4{x}^{2}}{xy(2x-y)}=\frac{{y}^{2}-4{x}^{2}}{xy(2x-y)}$

$=\frac{(y+2x)(y-2x)}{xy(2x-y)}=-\frac{(2x+y)(2x-y)}{xy(2x-y)}$$=-\frac{2x+y}{xy}$;

a) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{(x-2)(x+1)}-\frac{x-2}{(x-2)(x+1)}$

$=\frac{x+1-(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+1-x+2}{(x-2)(x+1)}=\frac{3}{(x-2)(x+1)}$;

b) $\frac{12}{{x}^{2}-9}-\frac{2}{x-3}=\frac{12}{(x+3)(x-3)}-\frac{2}{x-3}$

$=\frac{12}{(x+3)(x-3)}-\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{12-2(x+3)}{(x+3)(x-3)}$

$=\frac{12-2x-6}{(x+3)(x-3)}=\frac{6-2x}{(x+3)(x-3)}$

$=\frac{-3(x-3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{-3}{x+3}$;

c) $\frac{1}{xy-{x}^{2}}-\frac{1}{{y}^{2}-xy}=\frac{1}{x(y-x)}-\frac{1}{y(y-x)}$

$=\frac{y}{xy(y-x)}-\frac{x}{xy(y-x)}=\frac{y-x}{xy(y-x)}=\frac{1}{xy}$;

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$ là x2 – x +1 ≠ 0.

Với x = −3 ta thấy x2 – x +1 = (−3)2 − (−3) +1 = 92 + 9 + 1 = 81 + 10 = 91 ≠ 0.

Do đó, giá trị của biểu thức A tại x = −3 là:

$\frac{1}{{(-3)}^{2}-(-3)+1}=\frac{1}{91}$.

b) Số sản phẩm xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là:

10 000 + 80 = 10 080 (sản phẩm)

Số ngày xí nghiệp đã hoàn thành trên thực tế là: x – 1 (ngày)

Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế là: $\frac{10\ 080}{x-1}$ (sản phẩm)

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là:

$\frac{10\ 000}{x}-\frac{10\ 080}{x-1}=80(\frac{125}{x}-\frac{126}{x-1})$$=80[\frac{125(x-1)}{x(x-1)}-\frac{126x}{x(x-1)}]$

$=80\ .\ \frac{125x-125-126x}{x(x-1)}=\frac{-80x-10\ 000}{x(x-1)}$ (sản phẩm).

a) Theo đề bài, thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 2 giờ.

Hay thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể nhiều hơn thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 2 giờ.

Do đó, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: x + 2 (giờ).

b) Số phần bể mà vòi thứ nhất chảy được trong 1 giờ là $\frac{1}{x}$ (bể)

Số phần bể mà vòi thứ hai chảy được trong 1 giờ là $\frac{1}{x+2}$ (bể)

c) Số phần bể mà cả hai vòi chảy được trong 1 giờ là:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x(x+2)}+\frac{x}{x(x+2)}$

$=\frac{x+2+x}{x(x+2)}=\frac{2x+2}{x(x+2)}$ (bể).

a) Theo dự định, chi đoàn thanh niên trồng 120 cây xanh, ban đầu chi đoàn có x đoàn viên.

Do đó, phân thức biểu thị số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là $\frac{120}{x}$ (cây).

b) Theo thực tế, chi đoàn được tăng cường thêm 3 đoàn viên.

Khi đó, số đoàn viên của chi đoàn theo thực tế là: x + 3 (đoàn viên).

Do đó, phân thức biểu thị số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là $\frac{120}{x+3}$ (cây).

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là:

$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+3}=\frac{120(x+3)-120x}{x(x+3)}=\frac{120x+360-120x}{x(x+3)}=\frac{360}{x(x+3)}$ (cây).

Vậy phân thức biểu thị số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là $\frac{360}{x(x+3)}$ (cây).

Trên biểu đồ Hình 2 có:

• Con lợn thứ nhất ăn 3 ngày hết 1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ nhất ăn hết $\frac{1}{3}$ bao thức ăn.

Do đó, con lợn thứ nhất ăn trong x ngày hết $\frac{x}{3}$ bao thức ăn.

• Con lợn thứ hai ăn 6 ngày hết 1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết $\frac{1}{6}$ bao thức ăn.

Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết $\frac{x}{6}$ bao thức ăn.

• Con lợn thứ ba ăn 4 ngày hết 1 bao thức ăn.

Khi đó, mỗi ngày con lợn thứ hai ăn hết $\frac{1}{4}$ bao thức ăn.

Do đó, con lợn thứ hai ăn trong x ngày hết $\frac{x}{4}$ bao thức ăn.

Cả ba con lợn ăn trong x ngày (x ∈ ℕ*) thì cần:

$\frac{x}{3}+\frac{x}{6}+\frac{x}{4}=\frac{4x}{12}+\frac{2x}{12}+\frac{3x}{12}=\frac{9x}{12}=\frac{3x}{4}$ (bao thức ăn).

Vậy cả ba con lợn ăn trong x ngày (x ∈ ℕ*) thì cần $\frac{3x}{4}$ bao thức ăn.