Giải SGK Toán 8 Cánh diều Bài 5. Phân thức đại số có đáp án

Sau khi học xong bài này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể viết dưới dạng $\frac{P}{Q}$ . Khi đó, biểu thức $\frac{P}{Q}$ được gọi là phân thức.

Quy tắc để hai phân số bằng nhau là:

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c, viết là $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

a) Ta có: (x + y)(x – y) = x2 – y2 và (x2 – y2) . 1 = x2 – y2.

Nên (x + y)(x – y) = x2 – y2) . 1.

Vậy $\frac{x+y}{{x}^{2}-{y}^{2}}=\frac{1}{x-y}$.

b) Ta có: x(x – 1) = x2 – x và (x2 – 1) . 1 = x2 – 1

Do x(x – 1) ≠ (x2 – 1) . 1 nên hai phân thức $\frac{x}{{x}^{2}-1}$ và $\frac{1}{x-1}$ không bằng nhau.

b) Tính chất cơ bản của phân số là:

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A\ .\ M}{B\ .\ M}$ với M là một số khác 0.

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$ với N là một nhân tử chung của A và B.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:

$\frac{3x+y}{y}=\frac{(3x+y)\ .\ y}{y\ .\ y}=\frac{3xy+{y}^{2}}{{y}^{2}}$ (theo tính chất cơ bản của phân thức).

b) Ta có: $\frac{4{x}^{2}y}{6x{y}^{2}}=\frac{4{x}^{2}y:2xy}{6x{y}^{2}:2xy}=\frac{2x}{3y}$.

Vậy sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì phân thức nhận được là $\frac{2x}{3y}$.

a) $\frac{8{x}^{2}+4x}{1-4{x}^{2}}=\frac{4x(2x+1)}{(1-2x)(1+2x)}$

$=\frac{[4x(2x+1)]:(2x+1)}{[(1-2x)(2x+1)]:(2x+1)}=\frac{4x}{1-2x}$.

b) $\frac{{x}^{3}-x{y}^{2}}{2{x}^{2}+2xy}=\frac{x({x}^{2}-{y}^{2})}{2x(x+y)}=\frac{x(x+y)(x-y)}{2x(x+y)}$

$=\frac{[x(x+y)(x-y)]:[x(x+y)]}{[2x(x+y)]:[x(x+y)]}=\frac{x-y}{2}$.

Cho hai phân thức $\frac{1}{{x}^{2}y}$ và $\frac{1}{x{y}^{2}}$.

a) • Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:

$\frac{1}{{x}^{2}y}=\frac{1\ .\ y}{{x}^{2}y\ .\ y}=\frac{y}{{x}^{2}{y}^{2}}$.

• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:

$\frac{1}{x{y}^{2}}=\frac{1\ .\ x}{x{y}^{2}\ .\ x}=\frac{x}{{x}^{2}{y}^{2}}$.

Để tìm MTC của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử

2x + 6 = 2(x + 3); x2 – 9 = (x – 3)(x + 3).

Bước 2. Chọn MTC là: 2(x – 3)(x + 3).

Cách tìm mẫu thức như bảng sau:

Để quy đồng mẫu thức của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm mẫu thức chung

Chọn MTC là: x(x – 1)(x + 1).

Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)

[x(x – 1)(x + 1)] : x(x + 1) = x – 1; [x(x – 1)(x + 1)] : x(x – 1) = x + 1.

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng

$\frac{2}{{x}^{2}+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$;

$\frac{1}{{x}^{2}-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$.

Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x ≠ 2.

Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x ≠ 2.

b) • Với x = 10 ta thấy x2 + x = 102 + 10 = 100 + 10 = 110 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 10 là:

$\frac{10+1}{{10}^{2}+10}=\frac{11}{100+10}=\frac{11}{110}$.

Do đó giá trị của phân thức tại x = 10 là $\frac{11}{110}$.

• Với x = −1 ta thấy x2 + x = (−1)2 + (−1) = 1 – 1 = 0.

Nên x = −1 không thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.

a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy

Nên 3x . 10y = 2 . 15xy.

Do đó $\frac{3x}{2}=\frac{15xy}{10y}$.

b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y.

Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x).

Do đó $\frac{3x-3y}{2y-2x}=\frac{-\ 3}{2}$.

c) Ta có (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) = x(x3 + 1);

Vì (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x3 + 1) nên $\frac{{x}^{2}-x+1}{x}=\frac{{x}^{3}+1}{x(x+1)}$.

b) $\frac{6x-2y}{9{x}^{2}-{y}^{2}}=\frac{6x-2y}{{(3x)}^{2}-{y}^{2}}=\frac{2(3x-y)}{(3x+y)(3x-y)}$

$=\frac{2(3x-y):(3x-y)}{(3x+y)(3x-y):(3x-y)}=\frac{2}{3x+y}$.

a) Ta có MTC: (x – 3y)(x + 3y)

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{2}{x-3y}=\frac{2(x+3y)}{(x-3y)(x+3y)}$; $\frac{3}{x+3y}=\frac{3(x-3y)}{(x+3y)(x-3y)}$.

b) Ta có: 4x + 24 = 4(x + 6); x2 – 36 = (x + 6)(x – 6).

Suy ra MTC: 4(x + 6)(x – 6).

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{7}{4x+24}=\frac{7}{4(x+6)}=\frac{7(x-6)}{4(x+6)(x-6)}$; $\frac{13}{{x}^{2}-36}=\frac{13}{(x+6)(x-6)}=\frac{13\ .\ 4}{(x+6)(x-6)\ .\ 4}=\frac{52}{4(x+6)(x-6)}$.

a) Trong Hình 1:

• Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là x + 3 (cm); chiều rộng là x + 1 (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x + 3)(x + 1) (cm2).

• Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là x + 1 (cm); chiều rộng là x (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: x(x + 1) (cm2).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là:

$\frac{(x+3)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x+3}{x}$.

a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.

Chi phí để sản xuất của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng.

Khi đó, chi phí để sản xuất của x sản phẩm là 15x nghìn đồng.

Do đó, số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là:

80 000 + 15x (nghìn đồng).

Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là $\frac{80\ 000+15x}{1}$ (nghìn đồng).

c) • Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100 là:

$\frac{80\ 000+15\ .\ 100}{100}=\frac{80\ 000+1\ 5\ 00}{100}=\frac{81\ 5\ 00}{100}=815$ (nghìn đồng).

• Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1 000 là:

$\frac{80\ 000+15\ .\ 1\ 000}{1\ 000}=\frac{80\ 000+15\ 0\ 00}{100}=\frac{9\ 5\ 00}{100}=95$ (nghìn đồng).

Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.

Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.