Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi A là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và B là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm vi rút”.

Ta có P(A|B) = 0,762; $P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 0{,}991$; P(B) = 0,01.

Suy ra $P\left( {A|\overline B } \right) = 1 - P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 0{,}009$, $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0{,}99$

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$ = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.

Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quả xét nghiệm dương tính là P(B|A).

Ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}01.0{,}762}}{{0{,}01653}} \approx 0{,}461$.

Vậy khả năng thực sự người đó nhiễn virus là 46,1%.

A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

Ta có P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,9; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5$.

Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}3;P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0{,}1$;

$P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5$

Ta có sơ đồ hình cây

Gọi A là biến cố “Tuyến phố H bị tắc đường” và B là biến cố “Buổi sáng đó có mưa”

Theo đề ta có: P(B) = 0,1; P(A|B) = 0,7; $P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}2$.

Suy ra $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0{,}9$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$ = 0,1.0,7 + 0,9.0,2 = 0,25.

Gọi A là biến cố “Học sinh đó có tật khúc xạ” và B là biến cố “Học sinh đó là học sinh nam”.

a) Ta có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{18}}{{12 + 18}} = \frac{3}{5}$.

b) Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{18}}{{18 + 32}} = \frac{9}{{25}}$.

Gọi A là biến cố “Hệ thống radar phát cảnh báo” và B là biến cố “Vật thể bay đó là mục tiêu thật”.

Theo đề ta có P(A|B) = 0,9; $P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}05$; $P\left( {\overline B } \right) = 0{,}99$.

Suy ra $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 0{,}01$.

Ta có $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$ = 0,01.0,9 + 0,99.0,05 = 0,0585.

Ta cần tính $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}01.0{,}9}}{{0{,}0585}} = \frac{2}{{13}}$.

Gọi A là biến cố “Tài xế gây tai nạn” và B là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”.

Theo đề ta có P(B) = 0,02; P(B|A) = 0,1.

Suy ra $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0{,}98$; $P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0{,}9$.

Cần tính $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}$.

Có $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)$$= 0{,}02.x + 0{,}98.y$

(đặt $P\left( {A|B} \right) = x;P\left( {A|\overline B } \right) = y$).

Có $P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}$ $\Leftrightarrow 0{,}1 = \frac{{0{,}02.x}}{{0{,}02x + 0{,}98y}}$$\Leftrightarrow 0{,}02x + 0{,}98y = 0{,}2.x$

Þ $y = \frac{9}{{49}}x$.

Ta có $\frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{x}{y} = \frac{x}{{\frac{9}{{49}}x}} = \frac{{49}}{9} \approx 5{,}44$.

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5,44 lần.

a) Gọi A là biến cố “Lấy được 1 viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất” và B là biến cố “Lấy được 2 viên bi màu đỏ ở hộp thứ hai”.

Khi đó ta có $P\left( A \right) = \frac{3}{9}$; $P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{21}}{{55}}$.

Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{2}{3}$; $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{{28}}{{55}}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= \frac{3}{9}.\frac{{21}}{{55}} + \frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}} = \frac{7}{{15}}$.

b) Ta cần tính $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}}$$= \frac{{\frac{2}{3}.\frac{{28}}{{55}}}}{{\frac{7}{{15}}}} = \frac{8}{{11}}$.

Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn là học sinh nữ” và B là biến cố “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.

Ta có P(A) = 0,52; P(B|A) = 0,18; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}15$.

Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}48$.

a) $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$ = 0,52.0,18 + 0,48.0,15 = 0,1656.

b) Cần tính $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}}$$= \frac{{0{,}48.0{,}15}}{{0{,}1656}} = \frac{{10}}{{23}}$.

Gọi A là biến cố “Người được chọn đã tiêm vắc xin phòng bệnh A” và B là biến cố “Người được chọn mắc bệnh A”.

Ta có P(A) = 0,65; P(B|A) = 0,05; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}17$.

Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}35$.

a) $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$ = 0,65.0,05 + 0,35.0,17 = 0,092.

b) Cần tính $P\left( {\overline A |B} \right)$

Ta có $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $= \frac{{0{,}35.0{,}17}}{{0{,}092}} \approx 0{,}6467$.

A là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và B là biến cố “Chú lùn đó nhận mình là người luôn nói thật”.

a) Trong 7 chú lún có 4 chú lùn luôn nói thật nên $P\left( A \right) = \frac{4}{7}$. Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = \frac{3}{7}$.

Theo đề ta có P(B|A) = 1; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5$.

Ta cần tính P(B).

Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$ $= \frac{4}{7}.1 + \frac{3}{7}.0{,}5 = \frac{{11}}{{14}}$.

b) Cần tính P(A|B).

Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P(B)}}$ $= \frac{{\frac{4}{7}.1}}{{\frac{{11}}{{14}}}} = \frac{8}{{11}}$.