TopStudy

Toán · Lớp 12

Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes có đáp án

10 câu · 15 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm
Một loại xét nghiệm nhanh SARS–CoV–2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tích với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus (nguồn: 5người nhiễm virus SARS–CoV–2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi A là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và B là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm vi rút”.

Ta có P(A|B) = 0,762; P(A‾∣B‾)=0,991P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 0{,}991; P(B) = 0,01.

Suy ra P(A∣B‾)=1−P(A‾∣B‾)=0,009P\left( {A|\overline B } \right) = 1 - P\left( {\overline A |\overline B } \right) = 0{,}009, P(B‾)=1−P(B)=0,99P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0{,}99

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

P(A)=P(B).P(A∣B)+P(B‾).P(A∣B‾)P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.

Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quả xét nghiệm dương tính là P(B|A).

Ta có P(B∣A)=P(B).P(A∣B)P(A)=0,01.0,7620,01653≈0,461P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}01.0{,}762}}{{0{,}01653}} \approx 0{,}461.

Vậy khả năng thực sự người đó nhiễn virus là 46,1%.

Câu 2

1 điểm

Chị An trả lời hai câu hỏi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.

Gọi A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô ? ở sơ đồ hình cây sau:

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

Ta có P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,9; P(B∣A‾)=0,5P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5.

Suy ra P(A‾)=1−P(A)=0,3;P(B‾∣A)=1−P(B∣A)=0,1P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0{,}3;P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0{,}1;

P(B‾∣A‾)=1−P(B∣A‾)=0,5P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}5

Ta có sơ đồ hình cây

Hình minh hoạ

Câu 3

1 điểm

Vào mỗi buổi sáng ở tuyến phố H, xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2. Xác suất có mưa vào một buổi sáng là 0,1. Tính xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi A là biến cố “Tuyến phố H bị tắc đường” và B là biến cố “Buổi sáng đó có mưa”

Theo đề ta có: P(B) = 0,1; P(A|B) = 0,7; P(A∣B‾)=0,2P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}2.

Suy ra P(B‾)=1−P(B)=0,9P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0{,}9.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

P(A)=P(B).P(A∣B)+P(B‾).P(A∣B‾)P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,1.0,7 + 0,9.0,2 = 0,25.

Câu 4

1 điểm

Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:

Hình minh hoạ

Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.

a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suất bạn đó là học sinh nam.

b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suất bạn đó có tật khúc xạ.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi A là biến cố “Học sinh đó có tật khúc xạ” và B là biến cố “Học sinh đó là học sinh nam”.

a) Ta có P(B∣A)=1812+18=35P\left( {B|A} \right) = \frac{{18}}{{12 + 18}} = \frac{3}{5}.

b) Ta có P(A∣B)=1818+32=925P\left( {A|B} \right) = \frac{{18}}{{18 + 32}} = \frac{9}{{25}}.

Câu 5

1 điểm

Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu mục tiêu giả. Có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi A là biến cố “Hệ thống radar phát cảnh báo” và B là biến cố “Vật thể bay đó là mục tiêu thật”.

Theo đề ta có P(A|B) = 0,9; P(A∣B‾)=0,05P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}05; P(B‾)=0,99P\left( {\overline B } \right) = 0{,}99.

Suy ra P(B)=1−P(B‾)=0,01P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 0{,}01.

Ta có P(A)=P(B).P(A∣B)+P(B‾).P(A∣B‾)P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,05 = 0,0585.

Ta cần tính P(B∣A)=P(B).P(A∣B)P(A)=0,01.0,90,0585=213P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}01.0{,}9}}{{0{,}0585}} = \frac{2}{{13}}.

Câu 6

1 điểm

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy rằng có 10% là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.

a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.

b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường.

a) Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật.

b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là 65%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% ; trong số những người chưa tiêm phòng tỉ lệ mắc bệnh A là 17%. Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó.

a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A.

b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A. Tính xác suất người đó chưa tiêm vắc xin phòng bệnh A.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại nói thật với xác suất 0,5. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một chú lùn và hỏi xem chú ý ấy có phải là người nói thật không. Gọi A là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và B là biến cố “Chú lùn đó nhận mình là người luôn nói thật”.

a) Tính xác suất của các biến cố A và B.

b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Các bộ sách Toán Lớp 12