Giải SGK Toán 12 CD Bài tập cuối chương 5 có đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P): 3x – 4y + 5z – 6 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: .

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là: .

Khi đó cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): (x – 11)2 + (y – 12)2 + (z – 13)2 = 100 có bán kính là .

Đáp án đúng là: C

Ta có (x – 5)2 + (y + 6)2 + (z – 7)2 = 8 ⇔ (x – 5)2 + [y – (– 6)]2 + (z – 7)2 = 8.

Vậy tọa độ tâm của mặt cầu (S) là (5; – 6; 7).

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng x – a – b – c = 0 là:

.

Ta có .

Xét vectơ .

Khi đó, là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ .

+ Đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là .

+ Đường thẳng AC đi qua điểm A và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng AC là (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AC là .

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

1(x – 0) + 1(y – 1) + 1(z – 3) = 0 ⇔ x + y + z – 4 = 0.

Thay tọa độ điểm D(1; 1; – 2) vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:

1 + 1 + (– 2) – 4 = – 4 ≠ 0.

Suy ra điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC).

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

d(D, (ABC)) = .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là là:

2(x + 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) = 0 ⇔ 2x – 4y + z + 6 = 0.

Xét vectơ , tức là .

Khi đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

5(x – 2) + 5(y – (– 1)) – 5(z – 5) = 0 ⇔ x + y – z + 4 = 0.

Mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là .

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) nhận làm một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x – 4) + 1(y – 0) – 1(z + 7) = 0 ⇔ 2x + y – z – 15 = 0.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là .

Vì ∆ ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) nhận làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x + 4) + 1(y – 9) + 5(z – 2) = 0 ⇔ 2x + y + 5z – 11 = 0.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(4; – 2; 1) và bán kính R = 9 là:

(x – 4)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 81.

Ta có bán kính của mặt cầu (S) là R = IM = .

Phương trình mặt cầu (S) là:

(x – 3)2 + (y – 2)2 + z2 = 6.

Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Ta có . Suy ra I(0; 1; 2).

Bán kính của mặt cầu (S) là R = IA = .

Phương trình mặt cầu (S) là:

x2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 6.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(– 1; – 5; 5) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 13; 5; – 17) và có là vectơ chỉ phương.

Ta có , suy ra hai vectơ không cùng phương.

, .

Do 26 ∙ (– 12) + (– 26) ∙ 10 + (– 26) ∙ (– 22) = 0 nên đồng phẳng.

Vậy ∆1 cắt ∆2.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(2; – 1; 4) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 10; – 19; 45) và có là vectơ chỉ phương.

Ta có , suy ra hai vectơ cùng phương.

và nên không cùng phương.

Vậy ∆1 // ∆2.

Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(– 3; 5; 2) và có là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 13; 9; – 13) và có là vectơ chỉ phương.

Ta có , suy ra hai vectơ không cùng phương.

, .

Do 13 ∙ (– 10) + 8 ∙ 4 + (– 7) ∙ (– 15) = 7 ≠ 0 nên không đồng phẳng.

Vậy ∆1 và ∆2 chéo nhau.

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có: cos (∆1, ∆2) = .

Suy ra (∆1, ∆2) ≈ 63°.

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương , mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .

Ta có: sin (∆, (P)) = .

Suy ra (∆, (P)) ≈ 19°.

Do (P1) và (P2) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là , nên

cos ((P1), (P2)) = .

Suy ra ((P1), (P2)) = 90°.

Gọi tọa độ điểm C là C(xC; yC; zC). Ta có .

Vì OBCD.O*'B'C'D'* là hình lập phương nên OBCD là hình vuông, do đó ta có

.

Suy ra C(a; a; 0).

Gọi tọa độ điểm B*'* là B*'(xB'; yB'; zB'*). Ta có .

Ta có . Suy ra B*'*(a; 0; a).

Gọi tọa độ điểm D*'* là D*'(xD'; yD'; zD'*). Khi đó .

Ta có . Suy ra D*'*(0; a; a).

Ta có .

Xét vectơ .

Khi đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB*'D'*).

Lại có . Ta có , suy ra hai vectơ cùng phương.

Do đó, cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB*'D'*).

Vậy đường chéo O*'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D'*).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (OB*'D'*) đi qua điểm O và nhận làm vectơ pháp tuyến là: a(x – 0) + a(y – 0) – a(z – 0) = 0 ⇔ x + y – z = 0 (do a > 0).

Phương trình tham số của đường thẳng O*'C đi qua đi qua điểm O'*(0; 0; a) và nhận làm vectơ chỉ phương là: (t là tham số).

Gọi G là giao điểm của đường chéo O*'C và mặt phẳng (OB'D'*).

Vì G ∈ O*'*C nên gọi tọa độ điểm G là G(t; t; a – t).

Mà G ∈ (OB*'D'*) nên ta có t + t – (a – t) = 0, suy ra t = . Do đó .

Tọa độ trọng tâm G*'* của tam giác OB*'D'*: .

Suy ra . Do đó, G ≡ G*'*.

Vậy giao điểm của đường chéo O*'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'*.

Gọi tọa độ điểm C*'* là C*'(xC'; yC'; zC'*). Khi đó .

Ta có . Suy ra C*'*(a; a; a).

Ta có .

Xét vectơ .

Khi đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C*'*BD).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (C*'*BD) là:

(x – a) + (y – a) – (z – a) = 0 ⇔ x + y – z – a = 0.

Khoảng cách từ điểm B*'* đến mặt phẳng (C*'*BD) là:

d(B*', (C'*BD)) = (do a > 0).

Ta có .

Xét vectơ .

Khi đó, là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (CO*'*D).

Ta có cos ((CO*'D), (C'*BD)) = .

Ta có góc θ mà đường bay tạo với phương ngang chính là góc giữa đường thẳng GH và mặt phẳng (Oxy).

Tại thời điểm t = 0 thì . Trực thăng cất cánh từ điểm G nên G(1; 0,5; 0).

Tại thời điểm t = 1, trực thăng bay đến vị trí K thuộc đường thẳng GH với K(2; 2,5; 2).

Đường thẳng GH có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến .

Ta có sin (GH, (Oxy)) = .

Suy ra (GH, (Oxy)) ≈ 42°. Vậy θ ≈ 42°.

Gọi K*'* là hình chiếu của điểm K lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó K*'*(2; 2,5; 0).

Vì F là hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy) nên K*'* ∈ GF.

Do đó đường thẳng GF có vectơ chỉ phương là .

Phương trình tham số của đường thẳng GF là (t*'* là th

Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km, tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây có cao độ z = 2, khi đó 2t = 2, suy ra t = 1.

Vậy tọa độ điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây là (2; 2,5; 2).

Ta có H(1 + t; 0,5 + 2t; 2t). Khi đó, .

Đường thẳng GH có vectơ chỉ phương .

HM vuông góc với đường bay GH khi

⇔ (4 – t) ∙ 1 + (4 – 2t) ∙ 2 + (3 – 2t) ∙ 2 = 0 ⇔ t = 2.

Vậy t = 2 thì HM vuông góc với đường bay GH.

Khi đó, khoảng cách từ đỉnh núi đến máy bay trực thăng là:

HM = (km).

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(– 688; – 185; 8) và có vectơ chỉ phương là: (t là tham số).

Gọi B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Vì B ∈ d nên B(– 688 + 91t; – 185 + 75t; 8).

B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi OB = 417, tức là

⇔ 13 906t2 – 152 966t + 333 744 = 0

⇔ t = 3 hoặc t = 8.

+ Với t = 3, ta có B(– 415; 40; 8).

Khi đó AB = .

+ Với t = 8, ta có B(– 88; 415; 8).

Khi đó AB = .

Vì 353,77 < 848,53 nên tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là (– 415; 40; 8).

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

Vì H ∈ d nên H(– 688 + 91t*'; – 185 + 75t'*; 8).

Ta có (– 688 + 91t*'; – 185 + 75t'*; 8).

OH ⊥ d

⇔ (– 688 + 91t*') ∙ 91 + (– 185 + 75t'*) ∙ 75 + 8 ∙ 0 = 0

⇔ 13 906t*'* – 76 483 = 0 ⇔ t*'* = .

Suy ra H.

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

OH = (km).