Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối Chương II có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ , do đó M(3; 4; 2).

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{NM}=(1-3;\ -2-4;\ 3-(-5))=(-2;\ -6;\ 8)$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$= (3 + 5; – 4 + 7; 5 + (– 1)).

Do đó, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ = (8; 3; 4).

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$= (1 – 5; – 2 – 4; 3 – (– 1)).

Do đó, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ = (– 4; – 6; 4).

Đáp án đúng là: C

Ta có $-3\overrightarrow{u}$ = (– 3 ∙ 1 ; – 3 ∙ (– 1); – 3 ∙ 3) = (– 3; 3; – 9).

Đáp án đúng là: B

Ta có $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{{2}^{2}+\ {(-2)}^{2}+\ {1}^{2}}=3$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có $IK=|\overrightarrow{IK}|=\sqrt{{(6-1)}^{2}+{(4-4)}^{2}+{(5-(-7))}^{2}}=13$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là (x; y; z).

Ta có $x=\frac{1+3}{2}=2;\ y=\frac{-2+4}{2}=1;\ z=\frac{3+(-5)}{2}=-1$ .

Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là (2; 1; – 1).

Đáp án đúng là: A

Gọi tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là (x; y; z).

Ta có $x=\frac{0+(-1)+1}{3}=0;\ y=\frac{2+(-2)+3}{3}=1;\ z=\frac{1+3+2}{3}=2$ .

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là (0; 1; 2).

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA*'* và CC*'* nên MN // AC, MN = AC.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}$ . Do đó, $(\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{A{D}^{'}})=(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{A{D}^{'}})=\widehat{CA{D}^{'}}$ .

Ta tính được $A{D}^{'}=AC=C{D}^{'}=a\sqrt{2}$ nên tam giác ACD*'* là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{CA{D}^{'}}=60^{\circ}$ .

Vậy $(\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{A{D}^{'}})=60^{\circ}$ .

a) Ta có điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên cao độ của điểm C bằng 0.

Lại có CB ⊥ Ox tại B nên hoành độ của điểm C là 1, CD ⊥ Oy tại D nên tung độ của điểm C là 1. Vậy C(1; 1; 0).

Tương tự như vậy, ta xác định được B*'(1; 0; 1) và D'*(0; 1; 1).

Ta có $\overrightarrow{A{A}^{'}}=(0;\ 0;\ 1),\ \overrightarrow{AB}=(1;\ 0;\ 0),\ \overrightarrow{AD}=(0;\ 1;\ 0)$

Áp dụng quy tắc hình hộp trong hình lập phương ABCD.A*'B'C'D'* ta có

$\overrightarrow{A{C}^{'}}=\overrightarrow{A{A}^{'}}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(0+1+0;\ 0+0+1;\ 1+0+0)=(1;\ 1;\ 1)$.

Do đó, $\overrightarrow{O{C}^{'}}=\overrightarrow{A{C}^{'}}=(1;\ 1;\ 1)$ , suy ra C*'*(1; 1; 1).

b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A*'*BD là (x$_{G}$; y$_{G}$; z$_{G}$).

Ta có ${x}_{G}=\frac{0+1+0}{3}=\frac{1}{3};\ {y}_{G}=\frac{0+0+1}{3}=\frac{1}{3};\ {z}_{G}=\frac{1+0+0}{3}=\frac{1}{3}$ .

Vậy $G(\frac{1}{3};\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{3})$ .

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;\ -4;\ 8)$ , $\overrightarrow{AC}=(-3;\ 2;\ 3)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AB}=(-2;\ -4;\ 8)\ne k\overrightarrow{AC}=(-3k;\ 2k;\ 3k)$với mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm D là (x$_{D}$; y$_{D}$; z$_{D}$). Ta có $\overrightarrow{DC}$= (– 1 – x$_{D}$; 2 – y$_{D}$; – z$_{D}$).

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-1-{x}_{D}=-2 \\ 2-{y}_{D}=-4 \\ -{z}_{D}=8\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{D}=1 \\ {y}_{D}=6 \\ {z}_{D}=-8\end{matrix}$ .

Vậy D(1; 6; – 8).

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x$_{G}$; y$_{G}$; z$_{G}$).

Ta có ${x}_{G}=\frac{2+0+(-1)}{3}=\frac{1}{3};\ {y}_{G}=\frac{0+(-4)+2}{3}=\frac{-2}{3};\ {z}_{G}=\frac{-3+5+0}{3}=\frac{2}{3}$ .

Vậy $G(\frac{1}{3};\ \frac{-2}{3};\ \frac{2}{3})$ .

d) Ta có $AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-2)}^{2}+{(-4)}^{2}+{8}^{2}}=2\sqrt{21}$ ;

$AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{(-3)}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{22}$ ;

$BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{{(-1-0)}^{2}+{(2-(-4))}^{2}+{(0-5)}^{2}}=\sqrt{62}$.

Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = $2\sqrt{21}+\sqrt{22}+\sqrt{62}$ .