Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số có đáp án

Quan sát đồ thị ở Hình 10, ta thấy x → + ∞ thì y → 26.

Vậy $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=26$ .

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ \ {– 1}.

Ta có: $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=3$ ,

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{3x-2}{x+1}=3$ .

Vậy đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Quan sát đồ thị ở Hình 12, ta thấy:

+) x → 0$^{+}$ thì f(x) → + ∞, do đó $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ ;

+) x → 0$^{–}$ thì f(x) → – ∞, do đó $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ .

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{5}.

Ta có $\underset{x\rightarrow {5}^{+}}{\lim }y=\underset{x\rightarrow {5}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}+3x}{x-5}=+\infty$ (do $\underset{x\rightarrow {5}^{+}}{\lim }({x}^{2}+3x)=40>0,\ \underset{x\rightarrow {5}^{+}}{\lim }(x-5)=0$ , khi x → 5$^{+}$ thì x – 5 > 0).

Tương tự $\underset{x\rightarrow {5}^{-}}{\lim }y=\underset{x\rightarrow {5}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}+3x}{x-5}=-\infty$ .

Vậy đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }[f(x)-(x+1)]=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$ ;

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }[f(x)-(x+1)]=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$.

Ta có: $a=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{x}^{2}-3x+2}{x(x+3)}=1$

và $b=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }[f(x)-x]=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\frac{{x}^{2}-3x+2}{x+3}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-6x+2}{x+3}=-6$ .

Vậy đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).

Tương tự, do $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ và $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }[f(x)-x]=-6$ nên đường thẳng y = x – 6 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{– 1}.

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }y=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{x+2}{x+1}=+\infty ;\ \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }y=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{x+2}{x+1}=-\infty$ .

Vậy đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $a=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{x}^{2}+3x+5}{x(x+2)}=1$

và $b=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }[y-x]=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\frac{{x}^{2}+3x+5}{x+2}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{x+5}{x+2}=1$

Vậy đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → + ∞).

Tương tự, do $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{y}{x}=1$ và $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }[y-x]=1$ nên đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → – ∞).

Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}+1}=1,\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{x}^{2}+x+1}{x-1}=+\infty ,\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{x}^{2}-2}{{x}^{2}+2}=2$ ;

Xét đồ thị ở Hình 18a, ta thấy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị này.

Lại có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{x}^{2}-2}{{x}^{2}+2}=2$ , vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2{x}^{2}-2}{{x}^{2}+2}$ . Khi đó, đồ thị hàm số ở Hình 18a là đồ thị của hàm số $y=\frac{2{x}^{2}-2}{{x}^{2}+2}$ .

Xét đồ thị ở Hình 18b, ta thấy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị này.

Lại có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}+1}=1$ , vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}+1}$ . Khi đó, đồ thị hàm số ở Hình 18b là đồ thị của hàm số $y=\frac{{x}^{2}+2x-1}{{x}^{2}+1}$ .

a) Xét hàm số y = $S(x)=200(5-\frac{9}{2+x})$ với x ∈ [1; + ∞).

Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }200(5-\frac{9}{2+x})=1\ 000$ ; $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }y=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }200(5-\frac{9}{2+x})=1\ 000$ .

Do đó, đường thẳng y = 1 000 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho trên nửa khoảng [1; + ∞).