Giải SGK Toán 12 Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Để xét khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞ ta đi tính giới hạn $\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }15{e}^{-0{,}012t}$.

Ta có $\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }15{e}^{-0{,}012t}=0$ nghĩa là khi t → +∞ thì khối lượng chất phóng xạ sẽ dần tới 0.

Trên hình 1.18 điều này sẽ được thể hiện bằng việc đường cong biểu diễn m(t) sẽ tiến gần đến trục hoành khi t → +∞. Điều này cho thấy rằng khối lượng của chất phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian và cuối cũng sẽ tiến gần đến 0 khi thời gian tiến đến vô cùng.

b) Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$.

Do đó khoảng cách MH sẽ tiến dần tới 0 khi x → +∞.

Để xét khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞ ta đi tính giới hạn $\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }15{e}^{-0{,}012t}$.

Ta có $\underset{t\rightarrow +\infty }{\lim }15{e}^{-0{,}012t}=0$ nghĩa là khi t → +∞ thì khối lượng chất phóng xạ sẽ dần tới 0.

Trên hình 1.18 điều này sẽ được thể hiện bằng việc đường cong biểu diễn m(t) sẽ tiến gần đến trục hoành khi t → +∞. Điều này cho thấy rằng khối lượng của chất phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian và cuối cũng sẽ tiến gần đến 0 khi thời gian tiến đến vô cùng.

b) Khoảng cách MH dần đến 0 tức là x dần đến 1$^{+}$.

Khi đó $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{x}{x-1}=+\infty$.

Nghĩa là khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M tiến dần đến vô cùng.

Ta có $\underset{p\rightarrow {100}^{+}}{\lim }C(p)=\underset{p\rightarrow {100}^{+}}{\lim }\frac{45p}{100-p}=-\infty ;\underset{p\rightarrow {100}^{-}}{\lim }C(p)=\underset{p\rightarrow {100}^{-}}{\lim }\frac{45p}{100-p}=+\infty$.

Vậy p = 100 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Khi p tiến đến 100, ta thấy rằng giá trị của C(p) sẽ tăng lên gần tới vô cùng, điều này thể hiện sự tăng lên của chi phi khi phần trăm loại bỏ tảo độc gần tiệm cận 100%. Điều này rất có ý nghĩa trong việc quản lí tài nguyên và lập kế hoạch chi phí trong quá trình loại bỏ tảo độc khỏi hồ nước.

b) y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x = 1 và x = −1 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }y=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}+2x-3}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(x+3)=4.$

Tương tự $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }y=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}+2x-3}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(x+3)=4.$

Do đó đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{{x}^{2}+2x-3}{x-1}$.

Có $f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+50}{x}=2+\frac{50}{x}$.

Có ${f}^{'}(x)=-\frac{50}{{x}^{2}}<0$. Do đó hàm số f(x) giảm.

Có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(2+\frac{50}{x})=2.$

Tính chất này nói lên rằng chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm được sản xuất tăng lên và giới hạn của chi phí trung bình là 2 triệu đồng khi số lượng sản phẩm tiến gần đến vô cùng. Điều này có thể hiểu là khi sản xuất nhiều sản phẩm hơn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm và tiến gần đến một giá trị ổn định.

a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là $\frac{144}{x}$ (m) (x > 0).

Chu vi mảnh vườn là $P(x)=2(x+\frac{144}{x})=\frac{2{x}^{2}+288}{x}$ (m) x > 0).