Giải SGK Toán 12 Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gọi x (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa.

Điều kiện 0 < x < 30.

Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh x (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng (60 – 2x) (cm) và chiều cao bằng x (cm).

Thể tích của chiếc hộp này là: V(x) = (60 – 2x)$^{2}$.x = 4x$^{3}$ – 240x$^{2}$ + 3600x (cm$^{3}$).

Ta có V'(x) = 12x$^{2}$ – 480x + 3600;

V'(x) = 0 Û 12x$^{2}$ – 480x + 3600 = 0 Û x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = 30 (loại).

Lập bảng biến thiên

Vậy để thể tích của chiếc hộp lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.

Dựa vào đồ thị ta có:

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là M = 3 khi x$_{0}$ = 3.

b) Trên khoảng (1; +∞) ta có ${y}^{'}=-1-\frac{1}{{(x-1)}^{2}}<0,\forall x\in (1;+\infty )$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

c) Có f(−1) = −2; f(2) = 1; f(0) = 1; $f(\frac{4}{3})=-\frac{5}{27}$.

Có $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(-1)=-2;\underset{[-1;2]}{\max }f(x)=f(0)=f(2)=1$.

a) Ta có y' = 6x$^{2}$ – 6x + 5 = 6(x$^{2}$ – x) + 5 = $6{(x-\frac{1}{2})}^{2}+\frac{7}{2}>0$

Hàm số luôn đồng biến.

Có y(0) = 2; y(2) = 16.

Vậy $\underset{[0;2]}{\min }y=y(0)=2;\underset{[0;2]}{\max }y=y(2)=16$.

b) Có y' = e$^{−x}$ − (x + 1)e$^{−x}$; y' = 0 Û e$^{−x}$ − (x + 1)e$^{−x}$ = 0 Û x + 1 = 1 Û x = 0.

Có y(−1) = 0; y(0) = 1; y(1) = $\frac{2}{e}$.

Vậy $\underset{[-1;1]}{\min }y=y(-1)=0;\underset{[-1;1]}{\max }y=y(0)=1$.

a) Có N'(t) = −3t$^{2}$ + 24t; N'(t) = 0 Û t = 0 hoặc t = 8.

Có N(0) = 0; N(8) = 256; N(12) = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là N(8) = 256.

Vậy số người tối đa bị nhiễm ở địa phương đó là 256 người.

b) Có N'(t) = −3t$^{2}$ + 24t.

Để xác định thời điểm virus lây nhanh nhất, ta sẽ đi tìm điểm cực đại của N'(t).

Có N"(t) = −6t + 24; N"(t) = 0 Û t = 4.

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có virus lây lan nhanh nhất vào thời điểm t = 4 tuần.

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 4x$^{3}$ – 4x; y' = 0 Û x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\min }y=y(-1)=y(1)=2$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = e$^{−x}$ − xe$^{−x}$; y' = 0 Û e$^{−x}$ − xe$^{−x}$ = 0 Û x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\max }y=y(1)=\frac{1}{e}$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là (0; +∞).

Có y' = lnx + 1; y' = 0 $\Leftrightarrow$ lnx = −1 $\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{(0;+\infty )}{\min }y=y(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

a) Ta có y' = 6x$^{2}$ – 6; y' = 0 Û x = −1 hoặc x = 1.

Có y(−1) = 7; y (1) = −1; y(2) = 7.

Do đó $\underset{[-1;2]}{\max }y=y(-1)=y(2)=7;\underset{[-1;2]}{\min }y=y(1)=-1$.

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 24 : 2 = 12 (cm)

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 12).

Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 12 – x (cm).

Diện tích hình chữ nhật là x(12 – x) = 12x – x$^{2}$ (cm$^{2}$).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 12x – x$^{2}$ (0 < x < 12).

Có y' = 12 – 2x; y' = 0 Û x = 6.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có diện tích lớn nhất hình chữ nhật là 36 cm$^{2}$ khi nó là hình vuông có cạnh bằng 6 cm.