Giải SGK Toán 12 Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Độ ẩm trung bình là: $\frac{52{,}05.1+52{,}15.5+52{,}25.8+52{,}35.4+52{,}45.2}{20}=52{,}255$ .

Phương sai:

${s}^{2}=\frac{52,{05}^{2}.1+52,{15}^{2}.5+52,{25}^{2}.8+52,{35}^{2}.4+52,{45}^{2}.2}{20}-52,{255}^{2}=0{,}010475$.

Độ lệch chuẩn là: $s=\sqrt{0{,}010475}\approx 0{,}102$ .

Vì s = 0,102 < 0,15 do đó không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.

Gọi x$_{1}$, …, x$_{20}$ là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc).

a) Ta không thể tính chính xác được phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

b) Gọi x$_{1}$; x$_{2}$; x$_{3}$; x$_{4}$; x$_{5}$ lần lượt là giá trị đại diện của 5 nhóm [52; 52,1), [52,1; 52,2), [52,2; 52,3), [52,3; 52,4), [52,4; 52,5).

Gọi số trung bình của mẫu số liệu.

Phương sai: ${s}^{2}=\frac{{({x}_{1}-\overline{x})}^{2}+5{({x}_{2}-\overline{x})}^{2}+8{({x}_{3}-\overline{x})}^{2}+4{({x}_{4}-\overline{x})}^{2}+2{({x}_{5}-\overline{x})}^{2}}{20}$ .

Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{{s}^{2}}$ .

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tổng số vận động viên là: 3 + 7 + 8 + 2 = 20.

Thời gian chạy trung bình là: $\frac{10{,}3.3+10{,}5.7+10{,}7.8+10{,}9.2}{20}=10{,}59$ .

Phương sai của mẫu số liệu là

${s}^{2}=\frac{10,{3}^{2}.3+10,{5}^{2}.7+10,{7}^{2}.8+10,{9}^{2}.2}{20}-10,{59}^{2}=0{,}0299$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:$s=\sqrt{0{,}0299}\approx 0{,}17$ .

Dựa vào phương sai và độ lệch chuẩn ta có kết luận rằng mẫu số liệu kết quả luyện tập có tính đồng đều, dữ liệu có xu hướng gần giá trị trung bình và ít bị phân tán.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Độ ẩm trung bình là: $\frac{52{,}05.1+52{,}15.5+52{,}25.8+52{,}35.4+52{,}45.2}{20}=52{,}255$ .

Phương sai:

${s}^{2}=\frac{52,{05}^{2}.1+52,{15}^{2}.5+52,{25}^{2}.8+52,{35}^{2}.4+52,{45}^{2}.2}{20}-52,{255}^{2}=0{,}010475$.

Độ lệch chuẩn là: $s=\sqrt{0{,}010475}\approx 0{,}102$ .

Vì s = 0,102 < 0,15 do đó không cần đưa máy đo này đi sửa chữa.

a) Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

b) Mẫu số liệu gốc

Giá trị trung bình là: $\overline{x}=(\begin{matrix}49{,}5+48{,}9+51{,}4+51{,}1+49{,}3+48{,}7+50{,}8+50{,}7+51{,}2+50{,}2+48{,}8+50{,}6+ \\ 48{,}7+49{,}8+50{,}9+49{,}6+48{,}8+49{,}2+51{,}3+51{,}2+50{,}7+51{,}4+50{,}4+51{,}1+ \\ 50{,}1+50{,}0+48{,}6+50{,}5+51{,}2+49{,}6\end{matrix}).\frac{1}{30}$

$\overline{x}=\frac{15043}{300}$

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Tuổi thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

$\overline{{x}_{1}}=\frac{4.1{,}75+9.2{,}25+13.2{,}75+8.3{,}25+6.3{,}75}{4+9+13+8+6}=2{,}7875$.

Tuổi thọ trung bình của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

$\overline{{x}_{2}}=\frac{2.1{,}75+8.2{,}25+20.2{,}75+7.3{,}25+3.3{,}75}{2+8+20+7+3}=2{,}7625$.

Phương sai và độ lệch chuẩn của các linh kiện của phân xưởng 1 là:

${s}_{1}^{2}=\frac{4.1,{75}^{2}+9.2,{25}^{2}+13.2,{75}^{2}+8.3,{25}^{2}+6.3,{75}^{2}}{40}-{(2{,}7875)}^{2}\approx 0{,}355$

Suy ra ${s}_{1}=\sqrt{{s}_{1}^{2}}=\sqrt{0{,}355}\approx 0{,}596$ .

Phương sai và độ lệch chuẩn của các linh kiện của phân xưởng 2 là:

${s}_{2}^{2}=\frac{2.1,{75}^{2}+8.2,{25}^{2}+20.2,{75}^{2}+7.3,{25}^{2}+3.3,{75}^{2}}{40}-{(2{,}7625)}^{2}\approx 0{,}219$.

Suy ra ${s}_{2}=\sqrt{0{,}219}\approx 0{,}47$.

Đối với mẫu số liệu này thì phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ nên độ phân tán của số liệu thấp. Do đó các giá trị của mẫu số liệu tập trung quanh giá trị trung bình.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

a) $\overline{x}=\frac{4{,}75.3+5{,}25.8+5{,}75.7+6{,}25.2}{20}=5{,}45$ .

${s}^{2}=\frac{4,{75}^{2}.3+5,{25}^{2}.8+5,{75}^{2}.7+6,{25}^{2}.2}{20}-5,{45}^{2}=0{,}185$.

$s=\sqrt{0{,}185}\approx 0{,}43$.

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có:

Thời gian chạy trung bình của A là:

$\overline{{x}_{A}}=\frac{10{,}15.2+10{,}45.10+10{,}75.5+11{,}05.3}{20}=10{,}585$.

Thời gian chạy trung bình của B là:

$\overline{{x}_{B}}=\frac{10{,}15.3+10{,}45.7+10{,}75.9+11{,}05.6}{25}=10{,}666$.

Phương sai và độ lệch chuẩn của A là

${s}_{A}^{2}=\frac{10,{15}^{2}.2+10,{45}^{2}.10+10,{75}^{2}.5+11,{05}^{2}.3}{20}-10,{585}^{2}\approx 0{,}067$.

Suy ra ${s}_{A}=\sqrt{0{,}067}\approx 0{,}26$ .

Phương sai và độ lệch chuẩn của B là

${s}_{B}^{2}=\frac{10,{15}^{2}.3+10,{45}^{2}.7+10,{75}^{2}.9+11,{05}^{2}.6}{25}-10,{666}^{2}\approx 0{,}083$.

Suy ra ${s}_{B}=\sqrt{0{,}083}\approx 0{,}29$

Vận động viên A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn so với vận động viên B. Điều này cho thấy thời gian chạy tập luyện của vận động viên A ít biến động hơn so với vận động viên B. Do đó vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn so với vận động viên B.

a) Trong trường hợp các mẫu số liệu ghép nhóm về đểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương, phương sai hoặc độ lệch chuẩn có thể được sử dụng để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu vì chất lượng hai trường là tương đương. Dùng phương sai hoặc độ lệch chuẩn giúp đánh giá mức độ biến động của điểm thi từ đó so sánh độ phân tán giữa hai trường.

b) Trong trường hợp này việc sử dụng phương sai hoặc độ lệch chuẩn để so sánh độ phân tán có thể không phản ánh đúng bản chất của dữ liệu. Vì doanh thu thường có phân phối không đồng đều, có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến doanh thu của từng cửa hàng hoặc siêu thị. Do đó việc sử dụng phương sai hoặc độ lệch chuẩn không phải là phương pháp phù hợp để so sánh độ phân tán của doanh thu của hai nhóm này.