Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 6. Cấp số cộng có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng, gồm 25 số hạng, với số hạng đầu u$_{1}$ = 16 và công sai d = 2. Tổng các số hạng này là

S$_{25}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{25}$ = $\frac{{25}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {25 - 1} \right)d} \right] = \frac{{25}}{2}\left[ {2.16 + 24.2} \right] = 1\,000$.

Vậy nhà hát đó có tổng cộng 1 000 ghế.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Nhận thấy trong dãy số (u$_{n}$), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng u$_{n}$ theo số hạng u$_{n – 1}$là u$_{n}$ = u$_{n – 1}$ + 2.

Lời giải:

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

Lời giải:

Ta có: u$_{n – 1}$= – 2(n – 1) + 3 = – 2n + 2 + 3 = – 2n + 5

Do đó, u$_{n}$ – u$_{n – 1}$= (– 2n + 3) – (– 2n + 5) = – 2, với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng có số hạng đầu là u$_{1}$ = – 2 . 1 + 3 = 1 và công sai d = – 2.

Lời giải:

a) Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$ + d;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + d = (u$_{1}$ + d) + d = u$_{1}$ + 2d;

u$_{4}$ = u$_{3}$ + d = (u$_{1}$ + 2d) + d = u$_{1}$ + 3d;

u$_{5}$ = u$_{4}$ + d = (u$_{1}$ + 3d) + d = u$_{1}$ + 4d.

b)Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát u$_{n}$ theo u$_{1}$ và d là

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d.

Lời giải:

Ta có: u$_{n}$ – u$_{n – 1}$= (4n – 3) – [4(n – 1) – 3] = 4n – 3 – (4n – 4 – 3) = 4, với mọi n ≥ 2.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 4 . 1 – 3 = 1 và công sai d = 4.

Số hạng tổng quát là: u$_{n}$ = 1 + (n – 1) . 4.

Lời giải:

a) Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$ + d; ...; u$_{n – 1}$= u$_{1}$ + (n – 1 – 1)d = u$_{1}$ + (n – 2)d; u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d.

S$_{n}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{n – 1}$ + u$_{n}$

= u$_{1}$ + (u$_{1}$ + d) + ... + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + [u$_{1}$ + (n – 1)d]

b) S$_{n}$ = u$_{n}$ + u$_{n – 1}$ + ... + u$_{2}$ + u$_{1}$

= [u$_{1}$ + (n – 1)d] + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + ... + (u$_{1}$ + d) + u$_{1}$

c) Ta có:

S$_{n}$ + S$_{n}$ = {u$_{1}$ + (u$_{1}$ + d) + ... + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + [u$_{1}$ + (n – 1)d]} + {[u$_{1}$ + (n – 1)d] + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + ... + (u$_{1}$ + d) + u$_{1}$}

⇔ 2S$_{n}$ = {u$_{1}$+ [u$_{1}$ + (n – 1)d]} + {(u$_{1}$ + d) + [u$_{1}$ + (n – 2)d]} + ... + {[u$_{1}$ + (n – 2)d] + (u$_{1}$ + d)} + {[u$_{1}$ + (n – 1)d] + u$_{1}$}

⇔ 2S$_{n}$ = [2u$_{1}$ + (n – 1)d] + [2u$_{1}$ + (n – 1)d] + ... + [2u$_{1}$ + (n – 1)d] + [2u$_{1}$ + (n – 1)d]

⇔ 2S$_{n}$ = n . [2u$_{1}$ + (n – 1)d]

⇔ S$_{n}$ = $\frac{n}{2}$[2u$_{1}$ + (n – 1)d] .

Lời giải:

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu u$_{1}$ = 100 và công sai d = 20.

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này là

S$_{10}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + ... + u$_{10}$ = $\frac{{10}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right] = \frac{{10}}{2}\left[ {2.100 + 9.20} \right] = 1\,900$.

Vậy số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc ở công ty này là 1 900 triệu đồng hay 1 tỷ 900 triệu đồng.

Lời giải:

a) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là d = 9 – 4 = 5.

Số hạng đầu của cấp số cộng là u$_{1}$ = 4.

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d = 4 + 4 . 5 = 24.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 4 + (n – 1) . 5 = 4 + 5n – 5 = 5n – 1 hay u$_{n}$ = 5n – 1.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là u$_{100}$ = 5 . 100 – 1 = 499.

b) Ta có: công sai của cấp số cộng đã cho là d = – 1 – 1 = – 2.

Số hạng đầu của cấp số cộng là u$_{1}$ = 1.

Số hạng thứ 5 của cấp số cộng là u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d = 1 + 4 . (– 2) = – 7.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 1 + (n – 1) . (– 2) = 1 – 2n + 2 = – 2n + 3 hay u$_{n}$ = – 2n + 3.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là u$_{100}$ = (– 2) . 100 + 3 = – 197.

Lời giải:

a) u$_{n}$ = 3 + 5n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là:

u$_{1}$ = 3 + 5 . 1 = 8;

u$_{2}$ = 3 + 5 . 2 = 13;

u$_{3}$ = 3 + 5 . 3 = 18;

u$_{4}$ = 3 + 5 . 4 = 23;

u$_{5}$= 3 + 5 . 5 = 28.

+) Ta có: u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ = (3 + 5n) – [3 + 5(n – 1)] = 5, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u$_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 8 và công sai d = 5.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 8 + (n – 1). 5.

b) u$_{n}$ = 6n – 4

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là:

u$_{1}$ = 6 . 1 – 4 = 2;

u$_{2}$ = 6 . 2 – 4 = 8;

u$_{3}$ = 6 . 3 – 4 = 14;

u$_{4}$ = 6 . 4 – 4 = 20;

u$_{5}$= 6 . 5 – 4 = 26.

+) Ta có: u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ = (6n – 4) – [6(n – 1) – 4] = 6, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u$_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 2 và công sai d = 6.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 6.

c) u$_{1}$ = 2, u$_{n}$ = u$_{n – 1}$+ n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là:

u$_{1}$ = 2;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2 = 2 + 2 = 4;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 3 = 4 + 3 = 7;

u$_{4}$ = u$_{3}$ + 4 = 7 + 4 = 11;

u$_{5}$= u$_{4}$ + 5 = 11 + 5 = 16.

Ta có: u$_{n}$ = u$_{n – 1}$+ n ⇔ u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ = n, do n luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số (u$_{n}$) thay đổi.

Vậy dãy số (u$_{n}$) không phải là cấp số cộng.

d) u$_{1}$= 2, u$_{n}$ = u$_{n – 1}$ + 3

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là:

u$_{1}$ = 2;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 3 = 2 + 3 = 5;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 3 = 5 + 3 = 8;

u$_{4}$ = u$_{3}$ + 3 = 8 + 3 = 11;

u$_{5}$= u$_{4}$ + 3 = 11 + 3 = 14.

Ta có: u$_{n}$ = u$_{n – 1}$+ 3 ⇔ u$_{n}$ – u$_{n – 1}$ = 3, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u$_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 2 và công sai d = 3.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 3.

Lời giải:

Ta biểu diễn số hạng thứ 5 và số hạng thứ 12 theo số hạng thứ nhất u$_{1}$ và công sai d.

Ta có: u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d hay 18 = u$_{1}$ + 4d.

u$_{12}$ = u$_{1}$ + (12 – 1)d hay 32 = u$_{1}$ + 11d.

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = 18\\{u_1} + 11d = 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 10\\d = 2\end{array} \right.$.

Số hạng thứ 50 của cấp số cộng là u$_{50}$ = u$_{1}$ + (50 – 1)d = 10 + 49 . 2 = 108.

Lời giải:

Cấp số cộng có u$_{1}$ = 5 và d = 2. Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 2 700. Khi đó ta có:

S$_{n}$ = $\frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2.5 + \left( {n - 1} \right).2} \right] = 2\,700$.

Do đó, $\frac{n}{2}\left[ {2.5 + \left( {n - 1} \right).2} \right] = 2\,700$

⇔ n(10 + 2n – 2) = 5 400

⇔ n(2n + 8) – 5 400 = 0

⇔ 2n$^{2}$ + 8n – 5 400 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 50\,\left( {tm} \right)\\n = - 54\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Vậy tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2 700.

Lời giải:

Giá trị của chiếc xe ô tô trong từng năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là u$_{1}$ = 680 và công sai d = – 55 (do giá xe giảm).

Do đó, giá trị còn lại của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

u$_{5}$ = u$_{1}$ + (5 – 1)d = 680 + 4 . (– 55) = 460 (triệu đồng).

Lời giải:

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 15 và công sai d = 3. Giả sử cần thiết kế tối thiểu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi.

Ta có: S$_{n}$ = $\frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{n}{2}\left[ {2.15 + \left( {n - 1} \right).3} \right] \ge 870$

Do đó, n(30 + 3n – 3) ≥ 1 740

⇔ n(3n + 27) – 17 40 ≥ 0

⇔ 3n$^{2}$ + 27n – 1 740 ≥ 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \le - 29\\n \ge 20\end{array} \right.$.

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải:

Ta có: 1,2 triệu người = 1 200 nghìn người.

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng (2030 – 2020 + 1 = 11), với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 200 và công sai d = 30.

Ta có: u$_{11}$ = u$_{1}$ + (11 – 1)d = 1 200 + 10 . 30 = 1 500.

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người.