Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 33. Đạo hàm cấp hai có đáp án

Vận tốc của vật tại thời điểm t là

v(t) = x*'*(t) = $-{(2πt+\frac{π}{3})}^{'}.4\sin (2πt+\frac{π}{3})=-8π\sin (2πt+\frac{π}{3})$ .

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

a(t) = v*'*(t) = $-8π{(2πt+\frac{π}{3})}^{'}.\cos (2πt+\frac{π}{3})=-16{π}^{2}\cos (2πt+\frac{π}{3})$ .

Tại thời điểm t = 5, gia tốc của vật là:

a(5) = $-16{π}^{2}\cos (2π.5+\frac{π}{3})\approx -79$ (cm/s$^{2}$).

a) Ta có

$g(x)={y}^{'}={[\sin (2x+\frac{π}{4})]}^{'}=2.\cos (2x+\frac{π}{4})$.

b) Ta có

${g}^{'}(x)={[2\cos (2x+\frac{π}{4})]}^{'}=-4\sin (2x+\frac{π}{4})$.

a) Ta có y = xe$^{2x}$

Suy ra: y*'* = x*'* . e$^{2x}$ + x . (e$^{2x}$)' = e$^{2x}$ + 2xe$^{2x}$.

Do đó, y*''* = 2e$^{2x}$ + 2(e$^{2x}$ + 2xe$^{2x}$) = 2e$^{2x}$ + 2e$^{2x}$ + 4xe$^{2x}$ = 4e$^{2x}$ + 4xe$^{2x}$.

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là y*''* = 4e$^{2x}$ + 4xe$^{2x}$.

b) Ta có y = ln(2x + 3).

y*'* = $\frac{(2x+3{)}^{'}}{2x+3}=\frac{2}{2x+3}$ .

y*''* = ${(\frac{2}{2x+3})}^{'}=\frac{-2.2}{{(2x+3)}^{2}}=\frac{-4}{{(2x+3)}^{2}}$.

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là ${{y}^{'}}^{'}=\frac{-4}{{(2x+3)}^{2}}$ .

a)

Ta có: v(t) = s*'*(t) = –4.2πsin2πt = –8πsin2πt.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là –8πsin2πt.

b) Gia tốc tức thời tại thời điểm t là

a(t) = v*'(t) = (–8πsin2πt)'* = –8π.2πcos2πt = –16π$^{2}$cos2πt.

Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s*'*(t) = 4t + 2t$^{3}$.

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là a(t) = v*'*(t) = 4 + 6t$^{2}$.

Tại thời điểm t = 4 giây, gia tốc của vật là:

a(4) = 4 + 6 . 4$^{2}$ = 100 (m/s$^{2}$).

Với f(x) = x$^{2}$e$^{x}$, ta có:

f*'(x) = (x$^{2}$)'* . e$^{x}$ + x$^{2}$ . (e$^{x}$)' = 2x.e$^{x}$ + x$^{2}$.e$^{x}$.

f*''*(x) = (2e$^{x}$ + 2x.e$^{x}$) + (2x.e$^{x}$ + x$^{2}$.e$^{x}$) = 4xe$^{x}$ + 2e$^{x}$ + x$^{2}$e$^{x}$.

Vậy f*''*(0) = 4 . 0 . e$^{0}$ + 2 . e$^{0}$ + 0$^{2}$. e$^{0}$ = 2.

a) Ta có ${y}^{'}={(\ln (x+1))}^{'}=\frac{{(x+1)}^{'}}{x+1}=\frac{1}{x+1}$

$\Rightarrow {{y}^{'}}^{'}={(\frac{1}{x+1})}^{'}=\frac{-1}{{(x+1)}^{2}}$

b)

Ta có ${y}^{'}={(\tan 2x)}^{'}=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$

$\Rightarrow {{y}^{'}}^{'}=\frac{-2{({\cos }^{2}2x)}^{'}}{{\cos }^{4}2x}=\frac{-2.2\cos 2x.(\cos 2x{)}^{'}}{{\cos }^{4}2x}$

$=\frac{4.2\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}=\frac{8\sin 2x}{{\cos }^{3}2x}$.

Ta có:

P*'*(x) = 2ax + b

P*''*(x) = 2a

Do P*'(1) = 0 và P''*(1) = –2 nên ta có

$\{\begin{matrix}{P}^{'}(1)=2a+b=0 \\ {{P}^{'}}^{'}(1)=2a=-2\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-1 \\ b=2\end{matrix}$.

Vậy a = – 1 và b = 2.

Ta có:

${f}^{'}(x)=2.2\sin (x+\frac{π}{4}).{[\sin (x+\frac{π}{4})]}^{'}$

$=4\sin (x+\frac{π}{4})\cos (x+\frac{π}{4})=2\sin (2x+\frac{π}{2})$.

Khi đó ${{f}^{'}}^{'}(x)=2.{(2x+\frac{π}{2})}^{'}.\cos (2x+\frac{π}{2})=4\cos (2x+\frac{π}{2})$ .

Vì $|\cos (2x+\frac{π}{2})|\le 1$ với mọi x nên $4|\cos (2x+\frac{π}{2})|\le 4$ với mọi x.

Vậy |f*''*(x)| ≤ 4 với mọi x.

Vận tốc tại thời điểm t là:

v(t) = s*'*(t) = 0,5.2πcos $(2πt+\frac{π}{5})$ = πcos $(2πt+\frac{π}{5})$ .

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:

a(t) = v*'*(t) = –π.2πsin $(2πt+\frac{π}{5})$= –2π$^{2}$sin $(2πt+\frac{π}{5})$ .

Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là:

a(5) = –2π$^{2}$sin $(2π.5+\frac{π}{5})$ ≈ –11,6 (cm/s$^{2}$).